परिमेय घातांक क्या होता है?
परिमेय घातांक m/n के रूप वाली एक भिन्नात्मक घात है, जिसमें m अंश (numerator) और n हर (denominator) होता है। व्यंजक \(x^{m/n}\) में दो क्रियाएँ एक साथ शामिल रहती हैं — x का n-वाँ मूल निकालना और फिर उस परिणाम को m-वीं घात तक बढ़ाना। यह कैलकुलेटर ऐसे किसी भी व्यंजक का मान एक ही चरण में निकाल देता है, यानी मूल और घात दोनों को एक साथ संभाल लेता है।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
आधार (x), घातांक का अंश (m) और हर (n) दर्ज करें। कैलकुलेटर आपको \(x^{m/n}\) का मान देता है, साथ ही घातांक का दशमलव मान भी बताता है। ऋणात्मक आधार केवल तभी मान्य हैं जब हर एक विषम पूर्णांक हो, क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं के अन्य मूल वास्तविक संख्याएँ नहीं होते।
सूत्र की व्याख्या
घातांक के नियमों के अनुसार, $$\text{x}^{\frac{\text{m}}{\text{n}}} = \sqrt[\text{n}]{\text{x}^{\text{m}}} = \left(\sqrt[\text{n}]{\text{x}}\right)^{\text{m}}$$ यहाँ \(x^{1/n}\) का अर्थ है x का n-वाँ मूल, और उसे m-वीं घात तक बढ़ाने से अंश लागू होता है। यह करणी (radical) रूप \(\sqrt[\text{n}]{\text{x}^{\text{m}}}\) के बिल्कुल समान है। दोनों रूप एक ही मान देते हैं, इसलिए आप चाहे पहले मूल निकालें फिर घात लगाएँ, या पहले घात लगाएँ फिर मूल निकालें — परिणाम एक ही रहेगा।
हल किया हुआ उदाहरण
आइए \(8^{2/3}\) का मान निकालें। सबसे पहले 8 का घनमूल लें: $$\sqrt[3]{8} = 2$$ फिर इसे दूसरी घात तक बढ़ाएँ: $$2^2 = 4$$ तो \(8^{2/3} = 4\)। इसी तरह, \(8^2 = 64\) और \(\sqrt[3]{64} = 4\) — वही उत्तर मिलता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
ऋणात्मक घातांक का क्या मतलब है? ऋणात्मक घातांक व्युत्क्रम (reciprocal) देता है: \(x^{-m/n} = 1 / x^{m/n}\)। इसे निकालने के लिए अंश में ऋणात्मक संख्या दर्ज करें।
क्या आधार ऋणात्मक हो सकता है? केवल तभी जब हर n एक विषम पूर्णांक हो (जैसे घनमूल)। ऋणात्मक संख्याओं के सम मूल वास्तविक नहीं होते।
अगर x = 0 हो तो? 0 को किसी भी धनात्मक परिमेय घातांक तक बढ़ाने पर परिणाम 0 आता है, जबकि ऋणात्मक घातांक अपरिभाषित रहता है क्योंकि इसमें शून्य से भाग देना पड़ता है।
