भिन्नात्मक घातांक क्या होता है?
भिन्नात्मक घातांक वह घात होती है जिसे एक भिन्न के रूप में लिखा जाता है, जैसे \(x^{a/b}\)। यहाँ हर b बताता है कि कौन-सा मूल लेना है, और अंश a बताता है कि किस घात तक बढ़ाना है। यानी \(x^{a/b}\) का अर्थ है — x का b-वाँ मूल लेकर उसे a घात तक बढ़ाना। उदाहरण के लिए, \(8^{2/3}\) का मतलब है "8 का घनमूल निकालो, फिर उसका वर्ग कर दो।"
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
तीन मान दर्ज करें: आधार (x), घातांक का अंश (a), और घातांक का हर (b)। कैलकुलेटर इस भिन्न को दशमलव घातांक \((a \div b)\) में बदलता है और x को उस घात तक बढ़ाकर परिणाम निकालता है। साथ ही यह दशमलव घातांक भी दिखाता है, ताकि आप ठीक-ठीक देख सकें कि कौन-सी घात लगाई गई।
सूत्र की व्याख्या
मुख्य सर्वसमिका इस प्रकार है:
$$x^{\frac{a}{b}} = \left(x^{a}\right)^{\frac{1}{b}} = \sqrt[b]{x^{a}}$$
किसी संख्या को 1/b घात तक बढ़ाना उसका b-वाँ मूल लेने के बराबर ही है। चूँकि घात और मूल आपस में क्रमविनिमेय (commute) होते हैं, इसलिए आप पहले मूल और फिर घात भी ले सकते हैं: \(\left(\sqrt[b]{x}\right)^{a}\)। परिणाम बिल्कुल वही रहता है, पर पहले मूल लेने से अक्सर संख्याएँ छोटी और पढ़ने में आसान रह जाती हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
आइए \(8^{2/3}\) हल करें। हर 3 है, इसलिए पहले 8 का घनमूल लें, जो 2 है। अंश 2 है, इसलिए इस परिणाम का वर्ग करें: \(2^{2} = 4\)। अतः \(8^{2/3} = 4\)। आप इसे कैलकुलेटर में आधार = 8, अंश = 2, हर = 3 दर्ज करके जाँच सकते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
ऋणात्मक आधार से क्या होता है? ऋणात्मक संख्याओं के भिन्नात्मक घात अक्सर सम्मिश्र (अवास्तविक) परिणाम दे सकते हैं, खासकर जब हर सम संख्या हो। यह कैलकुलेटर केवल वास्तविक संख्याओं के परिणाम देता है, इसलिए सम मूल वाले ऋणात्मक आधार अपेक्षा के अनुसार काम नहीं कर सकते।
अगर हर 0 हो तो क्या होगा? शून्य से भाग देना अपरिभाषित होता है, इसलिए कैलकुलेटर इससे बचने के लिए 0 लौटाता है — कृपया शून्य के अलावा कोई हर चुनें।
क्या \(x^{1/2}\) और वर्गमूल एक ही चीज़ हैं? हाँ। हर 2 होने पर यह ठीक वर्गमूल होता है, हर 3 होने पर घनमूल, और इसी तरह आगे।
