Калькулятор дробных степеней

Введите расчет

Основание (x)

Числитель показателя (a)

Знаменатель показателя (b)

Результатов

x^a/b equals

4

значение дробной степени

Десятичный показатель (a/b)	0,666667

Что такое дробная степень?

Дробная степень — это показатель степени, записанный в виде дроби, например \(x^{a/b}\). Знаменатель b указывает, корень какой степени нужно извлечь, а числитель a — в какую степень возвести. Иными словами, \(x^{a/b}\) равно корню степени b из x, возведённому в степень a. Например, \(8^{2/3}\) означает «извлечь кубический корень из 8, а затем возвести результат в квадрат».

Дробный показатель a/b означает корень b-й степени из основания, возведённого в степень a.

Как пользоваться калькулятором

Введите три значения: основание (x), числитель (a) показателя степени и знаменатель (b) показателя степени. Калькулятор преобразует дробь в десятичный показатель \((a \div b)\) и возводит x в эту степень. Также выводится сам десятичный показатель, чтобы вы видели, в какую именно степень было выполнено возведение.

Разбор формулы

Ключевое тождество выглядит так:

$$x^{\frac{a}{b}} = \left(x^{a}\right)^{\frac{1}{b}} = \sqrt[b]{x^{a}}$$

Возведение в степень 1/b равносильно извлечению корня степени b. Поскольку возведение в степень и извлечение корня можно менять местами, корень допустимо извлечь и первым, а уже потом возвести в степень: \(\left(\sqrt[b]{x}\right)^{a}\). Результат будет тем же самым, однако если сначала извлечь корень, числа обычно получаются меньше и их проще воспринимать.

Можно сначала извлечь корень или сначала возвести в степень — оба пути дают одинаковый результат.

Пример решения

Вычислим \(8^{2/3}\). Знаменатель равен 3, поэтому извлекаем кубический корень из 8 — получаем 2. Числитель равен 2, значит возводим результат в квадрат: \(2^{2} = 4\). Следовательно, \(8^{2/3} = 4\). Проверить это можно в калькуляторе, указав основание = 8, числитель = 2, знаменатель = 3.

Частые вопросы

Что произойдёт при отрицательном основании? Дробные степени отрицательных чисел могут давать комплексные (не действительные) значения, особенно при чётном знаменателе. Этот калькулятор возвращает только действительные числа, поэтому отрицательные основания с чётными корнями могут вести себя не так, как вы ожидаете.

Что если знаменатель равен 0? Деление на ноль не определено, поэтому калькулятор защищён от такого случая и возвращает 0 — выбирайте ненулевой знаменатель.

Равно ли \(x^{1/2}\) квадратному корню? Да. Знаменатель 2 — это в точности квадратный корень, знаменатель 3 — кубический корень и так далее.