Что такое калькулятор дробных степеней?
Дробный (рациональный) показатель вида \(x^{n/d}\) означает «возвести x в степень n, а затем извлечь корень степени d». Этот калькулятор вычисляет \(x^{n/d}\) для любого вещественного основания и любых целых числителя и знаменателя, а также показывает эквивалентную запись через радикал — чтобы вы наглядно видели, что именно вычисляется.
Как пользоваться
Введите основание в поле «x =», числитель показателя в поле «n =» и знаменатель показателя в поле «d =». Для отрицательных значений ставьте знак минус. Нажмите «Рассчитать», чтобы получить ответ. Если сокращённый знаменатель чётный, а основание положительное, у результата есть два вещественных корня — поэтому ответ выводится со знаком ±.
Разбор формулы
По законам степеней $$x^{\frac{n}{d}} = \left(x^{n}\right)^{1/d} = \sqrt[d]{x^{\,n}}$$ Для \(x > 0\) значение равно \(\exp\left(\frac{n}{d}\cdot\ln x\right)\). Дробь \(n/d\) сокращается до несократимого вида, чтобы определить чётность корня: чётный сокращённый знаменатель означает чётный корень, который даёт два вещественных значения для положительного основания и не имеет вещественного значения (NaN) для отрицательного.
Пример с решением
Возьмём \(x = 4\), \(n = 3\), \(d = 2\): показатель равен \(3/2 = 1{,}5\), значит $$4^{1{,}5} = \left(4^{3}\right)^{1/2} = 64^{1/2} = 8$$ Поскольку сокращённый знаменатель 2 — чётный, а основание положительное, вещественными корнями являются и \(+8\), и \(-8\), поэтому калькулятор выдаёт \(\pm 8\).
Частые вопросы
Почему отрицательное основание иногда даёт NaN? Корень чётной степени из отрицательного числа (например, квадратный корень из −16) не имеет вещественного значения, поэтому результат — «не число» (NaN).
Что происходит при отрицательном показателе? Отрицательный показатель даёт обратную величину: \(x^{-n/d} = 1 / x^{n/d}\).
Может ли знаменатель быть равен нулю? Нет. Нулевой знаменатель означает деление на ноль, поэтому показатель не определён, и калькулятор возвращает ошибку.
