分數指數計算機

輸入計算

x =

n =

d =

計算 x 的分數指數 n/d 次方（即 x 的 n 次方再開 d 次方根）。可輸入負數，請加上負號。

結果

答案

±8

x^n/d = the d-th root of xⁿ

Two real roots (±)?	Yes

什麼是分數指數計算機？

像 \(x^{n/d}\) 這樣的分數（有理數）指數，意思是「先把 x 取 n 次方，再開 d 次方根」。這款計算機可針對任意實數底數，以及任意整數的分子與分母，計算出 \(x^{n/d}\) 的數值，並同時顯示對應的根式表示，讓你一目瞭然究竟在算什麼。

使用方式

在「x =」欄位填入底數，在「n =」填入指數的分子，在「d =」填入指數的分母。若為負數，請加上負號。按下計算即可得到答案。當約分後的分母為偶數、且底數為正時，結果會有兩個實數根，因此答案會以正負號（±）呈現。

公式解析

根據指數律，\(x^{n/d} = (x^{n})^{1/d}\)，也就是 \(x^{n}\) 的 d 次方根：

$$x^{\frac{n}{d}} = \sqrt[d]{x^{\,n}}$$

當 \(x > 0\) 時，其值等於 \(\exp\left(\frac{n}{d}\cdot\ln x\right)\)。分數 \(n/d\) 會先化簡為最簡分數，以判定方根的奇偶性：約分後分母為偶數代表偶次方根，對於正底數會產生兩個實數值；對於負底數則沒有實數解（顯示 NaN）。

Advertisement

分數指數：分母是根指數，分子是冪指數。

實例演算

以 \(x = 4\)、\(n = 3\)、\(d = 2\) 為例：指數為 \(3/2 = 1.5\)，因此

$$4^{1.5} = (4^{3})^{1/2} = 64^{1/2} = 8$$

由於約分後的分母 2 為偶數，且底數為正，+8 與 -8 都是實數根，所以計算機會回報 \(\pm 8\)。

例題解析：8^(2/3) 以 8 平方的立方根來計算。

常見問題

為什麼負底數有時會出現 NaN？負數的偶次方根（例如 -16 的平方根）沒有實數解，因此結果為「非數值（Not a Number）」。

指數為負數時會怎樣？負指數代表取倒數：\(x^{-n/d} = 1 / x^{n/d}\)。

分母可以是零嗎？不行。分母為零等於除以零，指數因此未定義，計算機會回傳錯誤。