분수 지수 계산기란?
\(x^{n/d}\)처럼 분수(유리수) 형태의 지수는 "x를 n제곱한 뒤 d제곱근을 취하라"는 뜻입니다. 이 계산기는 임의의 실수 밑과 정수 분자·분모에 대해 \(x^{n/d}\)를 계산하고, 어떤 값을 구하고 있는지 한눈에 알 수 있도록 동치인 근호 형태까지 함께 보여줍니다.
사용 방법
"x =" 칸에 밑을, "n =" 칸에 지수의 분자를, "d =" 칸에 지수의 분모를 입력하세요. 음수 값은 앞에 마이너스 부호(-)를 붙이면 됩니다. 계산 버튼을 누르면 결과가 나옵니다. 약분한 분모가 짝수이고 밑이 양수이면 실근이 두 개 존재하므로, 결과는 ± 부호와 함께 표시됩니다.
공식 설명
지수 법칙에 따라 \(x^{n/d} = (x^{n})^{1/d}\), 즉 \(x^{n}\)의 d제곱근입니다.
$$x^{\frac{n}{d}} = \sqrt[d]{x^{\,n}}$$\(x > 0\)일 때 그 값은 \(\exp\left(\frac{n}{d}\cdot\ln x\right)\)와 같습니다. 근의 짝·홀수 여부를 판단하기 위해 분수 \(n/d\)를 기약분수로 약분합니다. 약분된 분모가 짝수라면 짝수 제곱근이 되는데, 밑이 양수이면 두 개의 실수 값을 가지고, 밑이 음수이면 실수 값이 존재하지 않습니다(NaN).
예제 풀이
\(x = 4\), \(n = 3\), \(d = 2\)인 경우: 지수는 \(3/2 = 1.5\)이므로
$$4^{1.5} = (4^{3})^{1/2} = 64^{1/2} = 8$$약분된 분모 2가 짝수이고 밑이 양수이므로 +8과 -8 모두 실근이며, 따라서 계산기는 \(\pm 8\)을 출력합니다.
자주 묻는 질문
음수 밑일 때 왜 NaN이 나오나요? 음수의 짝수 제곱근(예: -16의 제곱근)은 실수 값이 존재하지 않으므로 결과가 NaN(Not a Number, 숫자가 아님)으로 표시됩니다.
지수가 음수면 어떻게 되나요? 음의 지수는 역수를 나타냅니다. 즉 \(x^{-n/d} = 1 / x^{n/d}\)입니다.
분모가 0일 수 있나요? 아니요. 분모가 0이면 0으로 나누는 것이 되어 지수가 정의되지 않으므로, 계산기는 오류를 반환합니다.
