이 계산기로 할 수 있는 일
이 지수 계산기는 밑 x를 지수 n만큼 거듭제곱한 값, 즉 \(\text{x}^{\text{n}}\)을 구합니다. 양수와 음수 밑, 정수 지수와 소수 지수는 물론, 음의 지수(역수)와 0제곱까지 모두 처리합니다. 입력값이 작은 자연수일 때는 곱셈을 단계별로 펼쳐 보여주므로, 답이 어떻게 만들어지는지 한눈에 확인할 수 있습니다.
사용 방법
x = 칸에 밑을, n = 칸에 지수를 입력하면 곧바로 결과가 나옵니다. 두 값 모두 양수든 음수든, 정수든 소수든 자유롭게 넣을 수 있습니다. -4처럼 음수 밑을 입력하면 부호를 포함한 값 전체를 거듭제곱하는 (-4)n으로 그대로 처리합니다.
공식 설명
기본 정의는 다음과 같습니다.
$$\text{x}^{\text{n}} = \underbrace{\text{x} \times \text{x} \times \cdots \times \text{x}}_{\text{n}\ \text{times}}$$즉 x를 n번 곱한 값입니다. 여기서 다음과 같은 기본 규칙이 자연스럽게 따라옵니다.
- 0제곱: 어떤 x든 \(\text{x}^{0} = 1\)입니다 (이 계산기는 \(0^{0} = 1\)로 약속합니다).
- 음의 지수: \(\text{x}^{-\text{n}} = 1 / \text{x}^{\text{n}}\)이며, 이때 \(\text{x} \neq 0\)이어야 합니다.
- 음수 밑: 지수가 짝수이면 결과는 양수, 홀수이면 결과는 음수가 됩니다.
- 소수 지수: \(\text{x}^{\text{n}} = e^{\text{n} \cdot \ln(\text{x})}\)로 계산하며, \(\text{x} > 0\)일 때만 유효합니다. 음수 밑에 정수가 아닌 지수를 적용하면 실수 값이 존재하지 않습니다.
예제 풀이
x = 3, n = 4라고 하면 다음과 같습니다.
$$3^{4} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$$음의 지수의 경우 \(3^{-4} = 1 / 3^{4} = 1 / 81 \approx 0.012346\)이 됩니다. 음수 밑이라면 \((-4)^{2} = (-4) \cdot (-4) = 16\)이고, \((-3)^{3} = -27\)입니다.
자주 묻는 질문
왜 \(-4^{2}\)이 \(-16\)이 되기도 하나요? 엄밀한 수학 표기에서 \(-4^{2}\)은 \(-(4^{2}) = -16\)을 뜻합니다. 거듭제곱이 마이너스 부호보다 우선하기 때문입니다. 하지만 이 계산기는 입력한 -4를 부호를 포함한 값 \((-4)\) 전체로 보기 때문에 \((-4)^{2} = 16\)을 돌려줍니다. 이 약속을 염두에 두세요.
분수(소수) 지수도 쓸 수 있나요? 가능합니다. 예를 들어 \(2^{0.5} = \sqrt{2} \approx 1.41421356\)입니다. 다만 음수 밑에 정수가 아닌 지수를 쓰면 복소수(실수가 아닌) 값이 나오므로, 이 계산기는 숫자 대신 안내 메시지를 표시합니다.
아주 큰 지수는 어떻게 되나요? 표준 배정밀도(double)는 약 \(10^{308}\)을 넘으면 오버플로가 발생합니다. 정수 지수는 약 2000 이하로 유지하세요. 매우 큰 정수 거듭제곱을 정확히 계산하려면 전용 큰 수(빅 넘버) 도구를 사용하는 것이 좋습니다.
