Что умеет этот калькулятор
Этот калькулятор степеней возводит основание x в степень n, то есть вычисляет выражение \(\text{x}^{\text{n}}\). Он работает с положительными и отрицательными основаниями, с целыми и дробными показателями, с отрицательными показателями (то есть с обратными величинами) и с нулевым показателем. Для небольших целых значений он также показывает пошаговое разложение в произведение — так вы наглядно видите, как именно получается результат.
Как пользоваться
Впишите основание в поле x =, а показатель степени — в поле n =, и сразу получите ответ. Оба значения могут быть положительными или отрицательными, целыми или дробными. Отрицательное основание, например -4, воспринимается буквально как (-4)n — в степень возводится всё число целиком, вместе со знаком.
Разбираемся в формуле
В основе всё просто:
$$\text{x}^{\text{n}} = \underbrace{\text{x} \times \text{x} \times \cdots \times \text{x}}_{\text{n}\ \text{times}}$$где множитель x повторяется n раз. Отсюда следуют несколько привычных правил:
- Нулевой показатель: \(\text{x}^{0} = 1\) при любом x (здесь принято соглашение \(0^{0} = 1\)).
- Отрицательный показатель: \(\text{x}^{-\text{n}} = 1 / \text{x}^{\text{n}}\), при этом \(\text{x} \neq 0\).
- Отрицательное основание, чётная степень: результат положительный; нечётная степень: результат отрицательный.
- Дробный показатель: \(\text{x}^{\text{n}} = e^{\text{n} \cdot \ln(\text{x})}\), и это работает только при \(\text{x} > 0\); у отрицательного основания с нецелым показателем нет действительного значения.
Пример с разбором
Пусть x = 3 и n = 4. Тогда
$$3^{4} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$$С отрицательным показателем:
$$3^{-4} = \frac{1}{3^{4}} = \frac{1}{81} \approx 0{,}012346$$С отрицательным основанием:
$$(-4)^{2} = (-4) \cdot (-4) = 16$$а вот
$$(-3)^{3} = -27$$
Частые вопросы
Почему \(-4^{2}\) иногда равно \(-16\)? В строгой математической записи \(-4^{2}\) означает \(-(4^{2}) = -16\), потому что возведение в степень имеет более высокий приоритет, чем знак «минус». Этот же калькулятор воспринимает введённое -4 как целое значение \((-4)\), поэтому возвращает \((-4)^{2} = 16\). Учитывайте это соглашение.
Можно ли использовать дробный показатель? Да. Например, \(2^{0{,}5} = \sqrt{2} \approx 1{,}41421356\). Но у отрицательного основания с нецелым показателем результат получается комплексным (не действительным), поэтому в таком случае калькулятор выдаёт сообщение, а не число.
А как быть с очень большими показателями? Стандартная двойная точность переполняется примерно после \(10^{308}\). Держите целые показатели в пределах около 2000; для огромных точных целых степеней используйте отдельный инструмент для работы с длинными числами.
