지수 방정식 계산기란?
이 도구는 \(a^x = b\) 형태의 방정식에서 미지의 지수 x를 구해 줍니다. 여기서 a는 밑(base), b는 결과값입니다. 일일이 값을 대입해 보며 추측할 필요 없이, 로그를 사용해 단 한 번에 정확한 답을 얻을 수 있습니다. 정수 지수는 물론 소수(분수) 지수도 똑같이 계산됩니다.
사용 방법
거듭제곱의 대상이 되는 밑(a)과, 그 식이 같아지는 값인 결과값(b)을 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 방정식을 만족시키는 지수 x가 나옵니다. 로그는 그 외의 경우 정의되지 않으므로, 밑은 반드시 양수이면서 1이 아니어야 하고, 결과값도 양수여야 합니다.
공식 풀이
\(a^x = b\)에서 출발해 양변에 로그를 취하면 \(\log(a^x) = \log(b)\)가 됩니다. 로그의 거듭제곱 법칙을 이용하면 지수를 앞으로 끄집어낼 수 있어 \(x \cdot \log(a) = \log(b)\)가 되죠. 이제 양변을 \(\log(a)\)로 나누면 다음과 같이 됩니다.
$$x = \frac{\log(b)}{\log(a)}$$분자와 분모에 같은 밑을 쓰기만 하면 자연로그(ln)든 상용로그(log₁₀)든 어떤 밑을 사용해도 결과는 동일합니다.
예제로 보기
예를 들어 \(2^x = 8\)이라고 해 봅시다. 그러면 다음과 같이 됩니다.
$$x = \frac{\log(8)}{\log(2)} = \frac{0.90309}{0.30103} = 3$$실제로 \(2^3 = 8\)이죠. 소수 지수의 경우, \(9^x = 3\)이면 \(x = \dfrac{\log(3)}{\log(9)} = 0.5\)가 됩니다. \(9^{0.5} = \sqrt{9} = 3\)이기 때문입니다.
자주 묻는 질문
지수가 음수나 소수가 될 수도 있나요? 네, 가능합니다. b가 0과 1 사이의 값이고 \(a > 1\)이라면 지수는 음수가 됩니다. 정수가 아닌 결과도 전혀 문제없이 유효합니다.
왜 밑이 1이면 안 되나요? 1은 어떤 수를 지수로 올려도 항상 1이기 때문입니다. 따라서 \(\log(1) = 0\)이 되어 나눗셈이 정의되지 않습니다.
어떤 로그의 밑을 쓰는지가 중요한가요? 아니요. 자연로그, 상용로그, 그 밖의 어떤 밑을 사용해도 x값은 같습니다. 비율 계산에서 밑이 서로 상쇄되기 때문입니다.
