구 계산기란?
구(球)는 표면의 모든 점이 중심으로부터 같은 거리, 즉 반지름만큼 떨어져 있는 완벽하게 둥근 입체 도형입니다. 이 계산기는 반지름만 입력하면 구의 부피, 겉넓이, 지름, 그리고 대원(大圓)의 둘레를 즉시 계산해 줍니다. 수학 숙제부터 공학 설계, 제조 현장은 물론, 공이나 탱크의 용량을 가늠하는 일상적인 계산까지 두루 쓸 수 있는 만능 기하 도구입니다.
사용 방법
구의 반지름(\(r\))을 원하는 단위로 입력하세요. 센티미터, 인치, 미터 등 어떤 단위든 상관없습니다. 결과도 같은 단위 기준으로 표시됩니다. 부피는 세제곱 단위, 겉넓이는 제곱 단위, 지름과 둘레는 길이 단위로 나옵니다. 만약 지름만 알고 있다면 2로 나눠 반지름을 구한 뒤 입력하면 됩니다.
공식 풀이
구의 부피는 다음과 같습니다.
$$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$무한히 얇은 원판을 적분으로 차곡차곡 더해 유도한 공식이죠. 겉넓이는 다음과 같으며, 구의 대원 넓이의 정확히 4배에 해당합니다.
$$SA = 4\pi r^2$$지름은 단순히 \(2r\)이고, 대원의 둘레는 \(2\pi r\)입니다.
계산 예시
반지름이 5 단위인 구가 있다고 해 봅시다. 부피는 다음과 같습니다.
$$V = \frac{4}{3} \times \pi \times 5^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 125 \approx 523.60 \text{ 세제곱 단위}$$겉넓이는 다음과 같습니다.
$$SA = 4 \times \pi \times 5^2 = 100\pi \approx 314.16 \text{ 제곱 단위}$$지름은 10 단위, 둘레는 \(10\pi \approx 31.42\) 단위입니다.
자주 묻는 질문
반지름 대신 지름만 알고 있다면요? 지름을 2로 나눠 반지름을 구한 다음, 그 값을 입력하면 됩니다.
단위가 결과에 영향을 주나요? 아니요. 이 계산기는 어떤 단위든 똑같이 처리합니다. 입력값과 결과값의 단위 체계만 일치시키면 됩니다.
왜 겉넓이가 정확히 대원 4개와 같나요? 아르키메데스가 증명한 고전적인 결과입니다. 구의 곡면 넓이는 그 구에 외접하는 원기둥의 옆면 넓이와 같으며, 이를 정리하면 \(4\pi r^2\)가 됩니다.
