結果

指数（x）

where a^x = b

指数を求める計算機とは？

このツールは、$a^x = b$ という形の式に含まれる未知の指数 $x$ を求めます。ここで $a$ は底、$b$ は計算結果を表します。当てずっぽうで探す必要はなく、対数を使って一度の計算で正確な答えを導き出します。整数の指数はもちろん、分数の指数にも対応しています。

使い方

まず、累乗される数である底（$a$）と、その式が等しくなる値である結果（$b$）を入力します。「計算」を押すと、式を満たす指数 $x$ が表示されます。なお、対数はそれ以外では定義できないため、底は正の数かつ 1 以外でなければならず、結果も正の数である必要があります。

$a^x = b$ から出発し、両辺の対数をとります：$\log(a^x) = \log(b)$。対数の「べき乗の法則」を使うと、指数を前に出すことができます：$x \cdot \log(a) = \log(b)$。両辺を $\log(a)$ で割ると、次が得られます：

$$x = \frac{\log(b)}{\log(a)}$$

分子と分母で同じ底を使う限り、どの対数の底（自然対数でも常用対数でも）を選んでも問題ありません。

たとえば $2^x = 8$ とします。このとき

$$x = \frac{\log(8)}{\log(2)} = \frac{0.90309}{0.30103} = 3$$

実際、$2^3 = 8$ です。分数になる例として、$9^x = 3$ では $x = \frac{\log(3)}{\log(9)} = 0.5$ となります。なぜなら $9^{0.5} = \sqrt{9} = 3$ だからです。

指数が負の数や分数になることはありますか？ はい、あります。$b$ が 0 から 1 の間（かつ $a > 1$）の場合、指数は負になります。整数でない結果もまったく問題ありません。

なぜ底を 1 にできないのですか？ 1 は何乗しても必ず 1 になるため、$\log(1) = 0$ となり、割り算が定義できなくなるからです。

対数の底の選び方は結果に影響しますか？ いいえ。自然対数でも常用対数でも、どの底を使っても同じ $x$ になります。比をとると底が打ち消し合うためです。