Что такое скалярное произведение векторов?
Скалярное произведение (его также называют точечным произведением) берёт два или более вектора одинаковой размерности и возвращает одно число. Для двух векторов это сумма произведений их соответствующих координат. Результатом является скаляр, а не вектор, и это понятие встречается повсюду — в геометрии, физике и машинном обучении. С его помощью, например, оценивают, насколько сонаправлены два направления, или вычисляют работу, совершённую силой.
Как пользоваться калькулятором
Введите векторы в текстовое поле. Каждый вектор можно заключить в круглые скобки (1,2,3), квадратные скобки [1,2,3], угловые скобки <1,2,3> или просто записать на отдельной строке. Координаты внутри вектора разделяйте запятыми. Все векторы должны содержать одинаковое количество элементов. Выберите режим «Авто», чтобы увидеть точное значение, либо укажите число значащих цифр для округления ответа.
Разбор формулы
Для векторов a и b размерности \(n\) скалярное произведение равно
$$\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n$$Этот калькулятор обобщает идею на два и более вектора:
$$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 \cdots = \sum_{i=1}^{n} \left( \prod_{j} v_{j,i} \right) \quad \text{from } \text{Enter vectors}$$он перемножает i-е координаты по всем векторам, а затем складывает полученные произведения. Для ровно двух векторов всё сводится к привычному скалярному произведению.
Пример с решением
Возьмём a = <3, 5, 8> и b = <2, 7, 1>. Скалярное произведение равно
$$(3\times 2) + (5\times 7) + (8\times 1) = 6 + 35 + 8 = 49$$Для трёх векторов v1 = <1,2,3>, v2 = <4,5,6>, v3 = <1,1,2> покоординатные произведения составят 4, 10 и 36, а их сумма — 50.
Частые вопросы
Может ли скалярное произведение быть отрицательным или равным нулю? Да. У двух перпендикулярных (ортогональных) векторов скалярное произведение равно нулю, а у векторов, направленных примерно в противоположные стороны, оно получается отрицательным.
Что делать, если длины векторов разные? Скалярное произведение определено только для векторов одинаковой размерности, поэтому при разном числе координат калькулятор покажет ошибку.
Влияют ли значащие цифры на расчёт? Нет — они только округляют итоговое отображаемое значение. Сами вычисления всегда выполняются с полной точностью.
