Что такое скалярное произведение?
Скалярное произведение (его ещё называют точечным произведением) берёт два вектора и возвращает одно число. Для векторов a = (a₁, a₂, a₃) и b = (b₁, b₂, b₃) оно равно сумме произведений соответствующих координат: \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\). Результат — это скаляр, а не вектор. Это одна из базовых операций в линейной алгебре, физике, компьютерной графике и машинном обучении.
Как пользоваться калькулятором
Введите координаты вектора a в первой строке и вектора b — во второй. Если у вас плоские (2D) векторы, просто оставьте третьи координаты (a₃ и b₃) равными 0. Нажмите «Вычислить» — и вы получите скалярное произведение, длину (модуль) каждого вектора и угол между ними в градусах.
Разбор формулы
Каждая координата вектора a умножается на соответствующую координату вектора b, а полученные произведения складываются. Угол θ между векторами находится из соотношения \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\lVert\mathbf{a}\rVert\,\lVert\mathbf{b}\rVert\cos\theta\), где \(\lVert\mathbf{a}\rVert=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\). Выразив угол, получаем $$\theta=\arccos\left(\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\lVert\mathbf{a}\rVert\,\lVert\mathbf{b}\rVert}\right).$$
Пример с решением
Пусть a = (1, 2, 3) и b = (4, 5, 6). Скалярное произведение равно $$(1\times4) + (2\times5) + (3\times6) = 4 + 10 + 18 = \mathbf{32}.$$ Длины векторов: \(\lVert\mathbf{a}\rVert=\sqrt{14}\approx3{,}742\) и \(\lVert\mathbf{b}\rVert=\sqrt{77}\approx8{,}775\). Угол составляет \(\arccos\left(32 / (3{,}742\times8{,}775)\right)\approx12{,}93^\circ\).
Частые вопросы
Что означает нулевое скалярное произведение? Это значит, что векторы перпендикулярны (ортогональны) — угол между ними равен 90°.
Может ли скалярное произведение быть отрицательным? Да. Отрицательное значение говорит о том, что угол между векторами больше 90° (они направлены в целом в противоположные стороны).
Чем оно отличается от векторного произведения? Скалярное произведение даёт число (скаляр), а векторное — вектор, перпендикулярный обоим исходным, и существует только в трёхмерном пространстве.
