什么是点积？
点积（又称数量积、标量积）是将两个向量运算后得到一个数值的运算。对于向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，点积等于对应分量乘积之和：$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$它的结果是一个标量，而不是向量。点积是线性代数、物理学、计算机图形学以及机器学习中最基础的运算之一。
如何使用本计算器
在第一行输入向量 a 的各个分量，在第二行输入向量 b 的各个分量。如果是二维向量，只需把第三个分量（\(a_3\) 和 \(b_3\)）保留为 0 即可。点击"计算"后，你将得到点积、每个向量的模长（长度），以及两个向量之间以度为单位的夹角。
公式解析
把 a 的每个分量与 b 对应的分量相乘，再将所有乘积相加，就得到了点积。两个向量之间的夹角 \(\theta\) 来自关系式 \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\lVert\mathbf{a}\rVert\,\lVert\mathbf{b}\rVert\cos\theta\)，其中 \(\lVert\mathbf{a}\rVert=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)。变形后即可求得 $$\theta=\arccos\left(\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\lVert\mathbf{a}\rVert\,\lVert\mathbf{b}\rVert}\right)$$
计算示例
设 \(\mathbf{a}=(1, 2, 3)\)，\(\mathbf{b}=(4, 5, 6)\)。点积为 $$(1\times 4) + (2\times 5) + (3\times 6) = 4 + 10 + 18 = \mathbf{32}$$两个向量的模长分别为 \(\lVert\mathbf{a}\rVert=\sqrt{14}\approx 3.742\)，\(\lVert\mathbf{b}\rVert=\sqrt{77}\approx 8.775\)。夹角为 $$\arccos\left(\frac{32}{3.742 \times 8.775}\right)\approx 12.93^\circ$$
常见问题
点积等于零意味着什么？意味着两个向量互相垂直（正交）——它们之间的夹角为 90°。
点积可以是负数吗？可以。负的点积说明两个向量之间的夹角大于 90°（它们大致指向相反的方向）。
点积和叉积有什么区别？点积得到的是一个标量，而叉积得到的是一个同时垂直于两个输入向量的新向量，并且叉积只在三维空间中存在。
