डॉट प्रोडक्ट क्या है?
डॉट प्रोडक्ट (जिसे अदिश गुणनफल या scalar product भी कहते हैं) दो वेक्टरों को लेकर एक ही संख्या देता है। वेक्टर a = \((a_1, a_2, a_3)\) और b = \((b_1, b_2, b_3)\) के लिए यह उनके संगत घटकों के गुणनफलों का योग होता है: $$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$ इसका परिणाम एक अदिश राशि (scalar) होता है, वेक्टर नहीं। यह रेखीय बीजगणित, भौतिकी, कंप्यूटर ग्राफ़िक्स और मशीन लर्निंग की सबसे बुनियादी क्रियाओं में से एक है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
पहली पंक्ति में वेक्टर a के घटक और दूसरी पंक्ति में वेक्टर b के घटक भरें। अगर आप 2D वेक्टर के साथ काम कर रहे हैं, तो बस तीसरे घटक (\(a_3\) और \(b_3\)) को 0 ही रहने दें। 'कैलकुलेट' पर क्लिक करते ही आपको डॉट प्रोडक्ट, हर वेक्टर का परिमाण (लंबाई), और दोनों के बीच का कोण डिग्री में मिल जाएगा।
फ़ॉर्मूला समझें
a के हर घटक को b के संगत घटक से गुणा किया जाता है और फिर सभी गुणनफलों को जोड़ दिया जाता है। दोनों वेक्टरों के बीच का कोण \(\theta\) इस संबंध से मिलता है: $$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\lVert\mathbf{a}\rVert\,\lVert\mathbf{b}\rVert\cos\theta$$ जहाँ \(\lVert\mathbf{a}\rVert=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\) है। इसे फिर से व्यवस्थित करने पर $$\theta=\arccos\left(\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\lVert\mathbf{a}\rVert\,\lVert\mathbf{b}\rVert}\right)$$ प्राप्त होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(\mathbf{a}=(1, 2, 3)\) और \(\mathbf{b}=(4, 5, 6)\)। तो डॉट प्रोडक्ट होगा $$(1\times4) + (2\times5) + (3\times6) = 4 + 10 + 18 = 32$$ परिमाण होंगे \(\lVert\mathbf{a}\rVert=\sqrt{14}\approx 3.742\) और \(\lVert\mathbf{b}\rVert=\sqrt{77}\approx 8.775\)। और कोण होगा \(\arccos(32 / (3.742 \times 8.775)) \approx 12.93°\)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
डॉट प्रोडक्ट शून्य होने का क्या मतलब है? इसका मतलब है कि दोनों वेक्टर एक-दूसरे के लंबवत (orthogonal) हैं — यानी उनके बीच का कोण ठीक 90° है।
क्या डॉट प्रोडक्ट ऋणात्मक हो सकता है? हाँ। ऋणात्मक डॉट प्रोडक्ट यह दर्शाता है कि वेक्टरों के बीच का कोण 90° से अधिक है (यानी वे लगभग विपरीत दिशाओं में इशारा करते हैं)।
यह क्रॉस प्रोडक्ट से कैसे अलग है? डॉट प्रोडक्ट एक अदिश राशि देता है, जबकि क्रॉस प्रोडक्ट एक ऐसा वेक्टर देता है जो दोनों इनपुट वेक्टरों के लंबवत होता है और जो केवल 3D में ही मौजूद होता है।
