क्रॉस प्रोडक्ट क्या है?
दो त्रि-आयामी सदिशों a और b का क्रॉस प्रोडक्ट, जिसे a × b लिखा जाता है, एक नया सदिश होता है जो दोनों इनपुट सदिशों पर लंबवत (perpendicular) होता है। इसकी दिशा दाएं-हाथ के नियम (right-hand rule) से तय होती है, और इसका परिमाण उस समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है जो ये दोनों सदिश मिलकर बनाते हैं। यह कैलकुलेटर आपको पूरा परिणामी सदिश, उसका परिमाण और दोनों इनपुट के बीच का कोण देता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
सदिश a के x, y और z घटक (\(a_1, a_2, a_3\)) तथा सदिश b के घटक (\(b_1, b_2, b_3\)) दर्ज करें। "कैलकुलेट" दबाते ही आपको क्रॉस प्रोडक्ट के घटक, परिमाण \(\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|\) और दोनों सदिशों के बीच का कोण \(\theta\) (डिग्री में) दिख जाएगा।
सूत्र की व्याख्या
घटकों की गणना एक सारणिक (determinant) के विस्तार के रूप में की जाती है:
$$\vec{a}\times\vec{b} = \left( a_2\,b_3 - a_3\,b_2,\;\; a_3\,b_1 - a_1\,b_3,\;\; a_1\,b_2 - a_2\,b_1 \right)$$परिमाण है $$\left|\vec{a}\times\vec{b}\right| = \sqrt{c_x^{2} + c_y^{2} + c_z^{2}},$$ जो \(\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\sin\theta\) के भी बराबर होता है। इससे कोण इस प्रकार निकाला जाता है: $$\theta = \arcsin\!\left( \frac{\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|}{\left|\vec{a}\right|\,\left|\vec{b}\right|} \right)$$।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(\vec{a} = (3, -3, 1)\) और \(\vec{b} = (4, 9, 2)\)। तब $$c_x = (-3)(2) - (1)(9) = -15,$$ $$c_y = (1)(4) - (3)(2) = -2,$$ $$c_z = (3)(9) - (-3)(4) = 39।$$ इसलिए \(\vec{a}\times\vec{b} = (-15, -2, 39)\) और इसका परिमाण \(\sqrt{225 + 4 + 1521} = \sqrt{1750} \approx 41.83\) है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या क्रॉस प्रोडक्ट क्रमविनिमेय (commutative) होता है? नहीं। \(\vec{a}\times\vec{b} = -(\vec{b}\times\vec{a})\); क्रम बदलने पर दिशा उलट जाती है।
अगर परिणाम शून्य सदिश आ जाए तो? इसका मतलब है कि दोनों सदिश समांतर हैं (या उनमें से एक शून्य है), और उनके बीच का कोण 0° या 180° होता है।
क्या यह 2D में काम करता है? असली क्रॉस प्रोडक्ट 3D में ही परिभाषित होता है। 2D सदिशों के लिए z-घटक को 0 रखें; ऐसी स्थिति में केवल \(c_z\) ही शून्येतर (non-zero) होगा।
