Qu'est-ce que le produit vectoriel ?
Le produit vectoriel de deux vecteurs tridimensionnels a et b, noté a × b, est un nouveau vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs d'origine. Sa direction obéit à la règle de la main droite, et sa norme correspond à l'aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs. Ce calculateur vous donne le vecteur résultat complet, sa norme et l'angle entre les deux vecteurs.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les composantes x, y et z du vecteur a (\(a_1\), \(a_2\), \(a_3\)) et du vecteur b (\(b_1\), \(b_2\), \(b_3\)). Cliquez sur « Calculer » pour afficher les composantes du produit vectoriel, la norme \(\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|\) ainsi que l'angle \(\theta\) entre les deux vecteurs, exprimé en degrés.
La formule expliquée
Les composantes se calculent à partir du développement d'un déterminant :
$$\vec{a}\times\vec{b} = \left( a_2\,b_3 - a_3\,b_2,\;\; a_3\,b_1 - a_1\,b_3,\;\; a_1\,b_2 - a_2\,b_1 \right)$$\(c_x = a_2 b_3 - a_3 b_2\), \(c_y = a_3 b_1 - a_1 b_3\), \(c_z = a_1 b_2 - a_2 b_1\).
La norme vaut $$\left|\vec{a}\times\vec{b}\right| = \sqrt{c_x^{2} + c_y^{2} + c_z^{2}}$$ ce qui équivaut également à \(\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\sin\theta\). On en déduit l'angle par $$\theta = \arcsin\!\left( \frac{\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|}{\left|\vec{a}\right|\,\left|\vec{b}\right|} \right)$$
Exemple résolu
Prenons \(\vec{a} = (3, -3, 1)\) et \(\vec{b} = (4, 9, 2)\). On obtient alors $$c_x = (-3)(2) - (1)(9) = -15$$ $$c_y = (1)(4) - (3)(2) = -2$$ $$c_z = (3)(9) - (-3)(4) = 39$$ Ainsi \(\vec{a}\times\vec{b} = (-15, -2, 39)\), avec une norme de $$\sqrt{225 + 4 + 1521} = \sqrt{1750} \approx 41{,}83$$
FAQ
Le produit vectoriel est-il commutatif ? Non. \(\vec{a}\times\vec{b} = -(\vec{b}\times\vec{a})\) ; inverser l'ordre des vecteurs inverse aussi la direction du résultat.
Que signifie un résultat égal au vecteur nul ? Cela indique que les deux vecteurs sont parallèles (ou que l'un d'eux est nul), et que l'angle qui les sépare vaut 0° ou 180°.
Cela fonctionne-t-il en 2D ? Le produit vectoriel n'est véritablement défini qu'en 3D. Pour des vecteurs 2D, fixez les composantes z à 0 : seule la composante \(c_z\) sera alors non nulle.
