Tích có hướng là gì?
Tích có hướng của hai vector ba chiều a và b, ký hiệu là a × b, là một vector mới vuông góc với cả hai vector ban đầu. Hướng của nó tuân theo quy tắc bàn tay phải, còn độ lớn của nó bằng diện tích hình bình hành tạo bởi hai vector. Công cụ này sẽ trả về toàn bộ vector kết quả, độ lớn của nó cùng góc giữa hai vector đầu vào.
Cách sử dụng công cụ
Bạn hãy nhập các thành phần x, y và z của vector a (\(a_1, a_2, a_3\)) và vector b (\(b_1, b_2, b_3\)). Sau đó nhấn "Tính" để xem các thành phần của tích có hướng, độ lớn \(\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|\) và góc \(\theta\) giữa hai vector (tính bằng độ).
Giải thích công thức
Các thành phần được tính bằng cách khai triển định thức:
$$\vec{a}\times\vec{b} = \left( a_2\,b_3 - a_3\,b_2,\;\; a_3\,b_1 - a_1\,b_3,\;\; a_1\,b_2 - a_2\,b_1 \right)$$Độ lớn được tính bằng $$\left|\vec{a}\times\vec{b}\right| = \sqrt{c_x^{2} + c_y^{2} + c_z^{2}}$$ và cũng bằng \(\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\sin\theta\). Từ đó ta suy ra góc theo công thức $$\theta = \arcsin\!\left( \frac{\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|}{\left|\vec{a}\right|\,\left|\vec{b}\right|} \right)$$
Ví dụ minh họa
Cho \(\vec{a} = (3, -3, 1)\) và \(\vec{b} = (4, 9, 2)\). Khi đó $$c_x = (-3)(2) - (1)(9) = -15,$$ $$c_y = (1)(4) - (3)(2) = -2,$$ $$c_z = (3)(9) - (-3)(4) = 39.$$ Vậy \(\vec{a}\times\vec{b} = (-15, -2, 39)\) với độ lớn $$\sqrt{225 + 4 + 1521} = \sqrt{1750} \approx 41{,}83.$$
Câu hỏi thường gặp
Tích có hướng có tính giao hoán không? Không. Ta có \(\vec{a}\times\vec{b} = -(\vec{b}\times\vec{a})\); khi đổi thứ tự hai vector, hướng của kết quả sẽ bị đảo ngược.
Nếu kết quả là vector không thì sao? Khi đó hai vector song song với nhau (hoặc một trong hai là vector không), và góc giữa chúng bằng \(0°\) hoặc \(180°\).
Công thức này có dùng được trong 2D không? Tích có hướng thực sự chỉ được định nghĩa trong không gian 3D. Với các vector 2D, bạn hãy đặt thành phần z bằng 0, khi đó chỉ có \(c_z\) khác 0.
