Tích vô hướng của vector là gì?
Tích vô hướng (còn gọi là tích chấm) nhận vào hai hay nhiều vector cùng số chiều và trả về một con số duy nhất. Với hai vector, đó là tổng các tích của những thành phần tương ứng. Kết quả là một đại lượng vô hướng (một số), chứ không phải vector, và xuất hiện khắp nơi trong hình học, vật lý và máy học (machine learning) — chẳng hạn để đo mức độ "cùng hướng" của hai phương hay để tính công sinh ra bởi một lực.
Cách sử dụng máy tính
Nhập các vector vào ô văn bản. Mỗi vector có thể được đặt trong dấu ngoặc tròn (1,2,3), ngoặc vuông [1,2,3], ngoặc nhọn <1,2,3>, hoặc đơn giản là viết trên một dòng riêng. Các thành phần trong cùng một vector được phân tách bằng dấu phẩy. Mọi vector phải có cùng số phần tử. Chọn "Tự động" để xem giá trị chính xác, hoặc chọn số chữ số có nghĩa để làm tròn kết quả hiển thị.
Giải thích công thức
Với hai vector a và b có số chiều \(n\), tích vô hướng là $$\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_n b_n$$. Máy tính này mở rộng ý tưởng đó cho hai hay nhiều vector: $$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 \cdots = \sum_{i=1}^{n} \left( \prod_{j} v_{j,i} \right)$$ nó nhân thành phần thứ \(i\) trên tất cả các vector, rồi cộng các tích đó lại với nhau. Khi chỉ có đúng hai vector, công thức trở về đúng tích vô hướng quen thuộc.
Ví dụ minh họa
Lấy a = <3, 5, 8> và b = <2, 7, 1>. Tích vô hướng là $$(3\times 2) + (5\times 7) + (8\times 1) = 6 + 35 + 8 = \mathbf{49}.$$ Với ba vector v1 = <1,2,3>, v2 = <4,5,6>, v3 = <1,1,2>, các tích theo từng thành phần lần lượt là 4, 10 và 36, cộng lại bằng 50.
Câu hỏi thường gặp
Tích vô hướng có thể âm hoặc bằng 0 không? Có. Hai vector vuông góc (trực giao) có tích vô hướng bằng 0, còn hai vector hướng gần như ngược nhau cho kết quả âm.
Nếu các vector của tôi có độ dài khác nhau thì sao? Tích vô hướng chỉ xác định cho các vector cùng số chiều, nên máy tính sẽ báo lỗi nếu số phần tử khác nhau.
Số chữ số có nghĩa có làm thay đổi phép tính không? Không — nó chỉ làm tròn giá trị hiển thị cuối cùng. Phần tính toán bên trong luôn dùng độ chính xác đầy đủ.
