什么是向量点积？
点积（也称为标量积或数量积）是对两个或多个维数相同的向量进行运算，最终得到一个数值。对于两个向量来说，点积就是它们对应分量乘积之和。运算结果是一个标量而非向量，它在几何、物理和机器学习中应用十分广泛——例如用来衡量两个方向的一致程度，或计算力所做的功。
如何使用本计算器
在文本框中输入你的向量。每个向量可以用圆括号 (1,2,3)、方括号 [1,2,3]、尖括号 <1,2,3> 包裹，也可以直接单独占一行。向量内的各个分量用逗号分隔。所有向量必须包含相同数量的分量。选择"自动"可查看精确值，或指定有效数字位数对显示的结果进行四舍五入。
公式详解
对于两个 \(n\) 维向量 \(a\) 和 \(b\)，点积的计算公式为 $$a\cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n$$ 本计算器将这一概念推广到两个或多个向量：先把所有向量的第 \(i\) 个分量相乘，再将这些乘积累加求和。其通用形式为 $$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 \cdots = \sum_{i=1}^{n} \left( \prod_{j} v_{j,i} \right) \quad \text{from } \text{Enter vectors}$$ 当恰好只有两个向量时，它就还原为我们熟悉的点积。
实例演算
设 \(a = \langle 3, 5, 8 \rangle\)，\(b = \langle 2, 7, 1 \rangle\)。它们的点积为 $$(3\times 2) + (5\times 7) + (8\times 1) = 6 + 35 + 8 = 49$$ 再看三个向量 \(v_1 = \langle 1,2,3 \rangle\)、\(v_2 = \langle 4,5,6 \rangle\)、\(v_3 = \langle 1,1,2 \rangle\)，各分量逐位相乘的结果分别为 \(4\)、\(10\) 和 \(36\)，累加得 50。
常见问题
点积可以是负数或零吗？ 可以。两个相互垂直（正交）的向量点积为零；而方向大致相反的向量则会得到负值。
如果向量长度不一致怎么办？ 点积只对维数相同的向量有定义，因此当各向量分量数量不同时，计算器会提示错误。
有效数字会改变计算结果吗？ 不会——它只对最终显示的数值进行四舍五入。底层运算始终采用完整精度。
