¿Qué es el producto escalar de vectores?
El producto escalar (también conocido como producto punto) toma dos o más vectores de la misma dimensión y devuelve un único número. Para dos vectores se obtiene sumando los productos de sus componentes correspondientes. El resultado es un escalar, no un vector, y aparece constantemente en geometría, física y aprendizaje automático: por ejemplo, para medir el grado de alineación entre dos direcciones o para calcular el trabajo realizado por una fuerza.
Cómo usar esta calculadora
Escribe tus vectores en el cuadro de texto. Cada vector puede ir entre paréntesis (1,2,3), corchetes [1,2,3], signos de menor y mayor <1,2,3> o sencillamente en su propia línea. Separa los componentes de cada vector con comas. Todos los vectores deben tener el mismo número de términos. Elige «Automático» para ver el valor exacto, o selecciona un número de cifras significativas para redondear el resultado que se muestra.
La fórmula explicada
Para dos vectores a y b de dimensión n, el producto escalar es
$$\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_n b_n$$Esta calculadora generaliza la idea a dos o más vectores:
$$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 \cdots = \sum_{i=1}^{n} \left( \prod_{j} v_{j,i} \right) \quad \text{from } \text{Enter vectors}$$multiplica el i-ésimo componente de cada uno de ellos y luego suma todos esos productos. Con exactamente dos vectores, esto se reduce al producto escalar habitual.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(\vec{a} = \langle 3, 5, 8 \rangle\) y \(\vec{b} = \langle 2, 7, 1 \rangle\). El producto escalar es
$$(3\times 2) + (5\times 7) + (8\times 1) = 6 + 35 + 8 = 49$$Para tres vectores \(\vec{v}_1 = \langle 1,2,3 \rangle\), \(\vec{v}_2 = \langle 4,5,6 \rangle\), \(\vec{v}_3 = \langle 1,1,2 \rangle\), los productos por componente son 4, 10 y 36, que suman 50.
Preguntas frecuentes
¿Puede el producto escalar ser negativo o cero? Sí. Dos vectores perpendiculares (ortogonales) tienen un producto escalar igual a cero, y los vectores que apuntan aproximadamente en direcciones opuestas dan un resultado negativo.
¿Qué ocurre si mis vectores tienen longitudes distintas? El producto escalar solo está definido para vectores de igual dimensión, por lo que la calculadora muestra un error si el número de términos no coincide.
¿Las cifras significativas cambian el cálculo? No: solo redondean el valor final que se muestra. El cálculo interno siempre utiliza la precisión completa.
