ما هو الجداء النقطي للمتجهات؟
الجداء النقطي (ويُسمى أيضًا الضرب القياسي) يأخذ متجهين أو أكثر من البُعد نفسه ليُخرج عددًا واحدًا. وبالنسبة لمتجهين فهو مجموع جداءات مركّباتهما المتناظرة. والناتج كمية قياسية وليس متجهًا، وهو حاضر في كل من الهندسة والفيزياء وتعلّم الآلة؛ فمثلًا يُستخدم لقياس مدى تطابق اتجاهين أو لحساب الشغل الذي تبذله قوة.
كيفية استخدام الحاسبة
اكتب متجهاتك في مربع النص. يمكنك إحاطة كل متجه بأقواس عادية (1,2,3) أو معقوفة [1,2,3] أو زاوية <1,2,3>، أو ببساطة وضع كل متجه في سطر مستقل. افصل بين مركّبات المتجه الواحد بفواصل. ويجب أن يحتوي كل متجه على العدد نفسه من الحدود. اختر "تلقائي" لرؤية القيمة الدقيقة، أو حدّد عدد الأرقام المعنوية لتقريب الناتج المعروض.
شرح الصيغة
للمتجهين a و b من البُعد \(n\)، يُعطى الجداء النقطي بالعلاقة \(a \cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_n b_n\). وتُعمّم هذه الحاسبة الفكرة لتشمل متجهين أو أكثر:
$$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 \cdots = \sum_{i=1}^{n} \left( \prod_{j} v_{j,i} \right)$$فهي تضرب المركّبة رقم \(i\) عبر جميع المتجهات، ثم تجمع تلك الجداءات معًا. وعند وجود متجهين فقط تتحول العملية إلى الجداء النقطي المألوف.
مثال محلول
لنأخذ \(a = \langle 3, 5, 8 \rangle\) و \(b = \langle 2, 7, 1 \rangle\). الجداء النقطي هو
$$(3 \times 2) + (5 \times 7) + (8 \times 1) = 6 + 35 + 8 = 49$$وبالنسبة لثلاثة متجهات \(v_1 = \langle 1,2,3 \rangle\) و \(v_2 = \langle 4,5,6 \rangle\) و \(v_3 = \langle 1,1,2 \rangle\)، تكون جداءات المركّبات المتناظرة 4 و10 و36، ومجموعها 50.
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن يكون الجداء النقطي سالبًا أو صفرًا؟ نعم. المتجهان المتعامدان يكون جداؤهما النقطي صفرًا، أما المتجهان اللذان يشيران إلى اتجاهين متعاكسين تقريبًا فيُعطيان ناتجًا سالبًا.
ماذا لو كانت أطوال متجهاتي مختلفة؟ الجداء النقطي معرّف فقط للمتجهات المتساوية في البُعد، لذا تُظهر الحاسبة رسالة خطأ إذا اختلف عدد الحدود.
هل يؤثر عدد الأرقام المعنوية على الحساب؟ لا، فهو يقرّب القيمة النهائية المعروضة فقط. أما الحساب الأساسي فيستخدم دائمًا الدقة الكاملة.
