ما هو حاصل ضرب المصفوفة في المتجه؟
حاصل ضرب المصفوفة في المتجه يأخذ مصفوفة A بأبعاد m×n ومتجهًا عموديًا x ذا n من المكوّنات، لينتج متجهًا عموديًا جديدًا \(c = A\cdot x\) ذا m من المكوّنات. وهذه العملية من أكثر العمليات أساسية في الجبر الخطي، إذ تقوم عليها التحويلات الخطية وأنظمة المعادلات ورسوميات الحاسوب وتعلّم الآلة. تتعامل هذه الحاسبة مع الأعداد الحقيقية وتنطبق في كل مكان — فهي رياضيات بحتة لا تخضع لأي قواعد خاصة ببلد أو منطقة.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل عدد صفوف المصفوفة A (وليكن i) وعدد أعمدتها (وليكن j). ثم اكتب عناصر المصفوفة في خانة الشبكة، بحيث يكون كل صف من المصفوفة في سطر مستقل والقيم مفصولة بمسافات أو فواصل. أدخل المتجه x بقيمة واحدة لكل عنصر، على أن يساوي طوله عدد أعمدة المصفوفة A. تُعامَل الخانات الفارغة على أنها 0. اضغط على زر الحساب لرؤية المتجه العمودي الناتج.
شرح الصيغة
لكل مكوّن ناتج بالدليل i من 1 إلى m (عدد الصفوف)، يكون المكوّن الناتج هو المجموع الموزون لعناصر المصفوفة في الصف i مضروبةً في مكوّنات المتجه:
$$c_i = a_{i1}\cdot x_1 + a_{i2}\cdot x_2 + \dots + a_{in}\cdot x_n$$
وهذا ببساطة هو الجداء النقطي للصف رقم i من المصفوفة A مع المتجه x. ولا تُعرَّف عملية الضرب إلا عندما يساوي عدد أعمدة A طول المتجه x (الأعمدة = n). عندئذٍ يكون طول المتجه الناتج هو m، أي عدد صفوف المصفوفة A.
مثال محلول
لتكن A مصفوفة بأبعاد 3×3 صفوفها [1 2 3] و[4 5 6] و[7 8 9]، وليكن \(x = (1, 0, -1)\). عندئذٍ يكون $$c_1 = 1\cdot 1 + 2\cdot 0 + 3\cdot(-1) = -2,$$ و $$c_2 = 4\cdot 1 + 5\cdot 0 + 6\cdot(-1) = -2,$$ و $$c_3 = 7\cdot 1 + 8\cdot 0 + 9\cdot(-1) = -2.$$ والنتيجة هي المتجه العمودي \(c = (-2, -2, -2)\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو لم تتوافق الأبعاد؟ إذا لم يكن عدد أعمدة A مساويًا لطول المتجه x، فإن حاصل الضرب يكون غير معرَّف، وتعرض الحاسبة رسالة تحقق بدلًا من إظهار رقم.
هل يمكن أن تكون A غير مربعة؟ نعم. ضرب مصفوفة بأبعاد 2×3 في متجه ثلاثي الأبعاد يعطي متجهًا ثنائي الأبعاد. ويساوي طول الناتج دائمًا عدد صفوف المصفوفة A.
ماذا تعطي مصفوفة بأبعاد 1×n؟ ضرب مصفوفة بأبعاد 1×n في متجه ذي n من المكوّنات يعطي مكوّنًا واحدًا فقط — أي عمليًا الجداء الداخلي (النقطي) لمتجهين، ويظهر هنا كمتجه طوله 1.
