什么是矩阵与向量的乘积？
矩阵与向量的乘积，是用一个 m×n 矩阵 A 乘以一个 n 维列向量 x，得到一个全新的 m 维列向量 \(c = A\cdot x\)。它是线性代数中最基础的运算之一，是线性变换、线性方程组、计算机图形学和机器学习背后的核心工具。本计算器支持实数运算，适用于任何场景——它属于纯数学范畴，不涉及任何地区或国家的特定规则。
如何使用本计算器
先填写矩阵 A 的行数（i）和列数（j）。在网格输入框中按行录入矩阵元素，每行占一行，行内的数值用空格或逗号分隔。再输入向量 x，每个数值占一个位置；它的长度必须与矩阵 A 的列数相等。留空的单元格会按 0 处理。点击计算，即可看到结果列向量。
公式详解
对于从 1 到 m（行数）的每一个输出位置 i，结果分量都是该行矩阵元素与向量各分量的加权求和：
$$c_i = a_{i1}\cdot x_1 + a_{i2}\cdot x_2 + \dots + a_{in}\cdot x_n$$
这其实就是矩阵 A 第 i 行与向量 x 的点积。只有当矩阵 A 的列数与向量 x 的长度一致（列数 = n）时，乘法才有定义。此时输出向量的长度恰好等于矩阵 A 的行数 m。
实例演算
设 A 为 3×3 矩阵，三行分别为 [1 2 3]、[4 5 6]、[7 8 9]，向量 x = (1, 0, -1)。则 $$c_1 = 1\cdot 1 + 2\cdot 0 + 3\cdot (-1) = -2,$$ $$c_2 = 4\cdot 1 + 5\cdot 0 + 6\cdot (-1) = -2,$$ $$c_3 = 7\cdot 1 + 8\cdot 0 + 9\cdot (-1) = -2.$$ 最终结果为列向量 \(c = (-2, -2, -2)\)。
常见问题
如果维度不匹配会怎样？ 如果矩阵 A 的列数与向量 x 的长度不相等，乘积就没有定义，此时计算器会显示一条校验提示，而不会给出数值结果。
A 可以不是方阵吗？ 当然可以。一个 2×3 矩阵乘以一个 3 维向量，会得到一个 2 维向量。输出向量的长度始终等于矩阵 A 的行数。
1×n 的矩阵会得到什么？ 一个 1×n 矩阵乘以一个 n 维向量，结果只有一个分量——实际上就是两个向量的内积（点积），在这里以长度为 1 的向量形式呈现。
