什么是向量计算器？
这款向量计算器适用于两个三维向量 A 和 B，每个向量都由 X、Y、Z 三个分量来确定。只需输入这六个数字，它就能帮你算出数学、物理和工程中最常用的几个向量量：每个向量的模长（即长度）、点积、叉积，以及两个向量之间的夹角。它是一个通用的数学工具，不依赖任何国家的规定，也不限定单位制。
使用方法
分别填入向量 A 和向量 B 的 X、Y、Z 分量。如果某个分量用不到，填 0 即可（比如要处理二维向量，把 Z 设为 0 就行）。点击「计算」后，你会看到突出显示的点积结果，以及两个向量的模长、叉积向量及其模长，还有 A 与 B 之间以「度」为单位的夹角。
公式详解
向量的模长等于各分量平方和的平方根：
$$\lVert v\rVert = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$$点积是把对应分量相乘再相加：
$$\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$$它与夹角 \(\theta\) 的关系为 \(\vec{a}\cdot\vec{b} = \lVert a\rVert\,\lVert b\rVert\cos\theta\)。叉积会得到一个同时垂直于两个输入向量的新向量，其分量为
$$\vec{a}\times\vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y,\ a_z b_x - a_x b_z,\ a_x b_y - a_y b_x)$$
实例演算
设 A = (1, 2, 3)，B = (4, 5, 6)。点积
$$1\cdot 4 + 2\cdot 5 + 3\cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32$$\(\lVert A\rVert = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14} \approx 3.7417\)，\(\lVert B\rVert = \sqrt{16+25+36} = \sqrt{77} \approx 8.7750\)。叉积
$$\vec{A}\times\vec{B} = (2\cdot 6 - 3\cdot 5,\ 3\cdot 4 - 1\cdot 6,\ 1\cdot 5 - 2\cdot 4) = (-3,\ 6,\ -3)$$其模长为 \(\sqrt{9+36+9} = \sqrt{54} \approx 7.3485\)。夹角
$$\theta = \arccos\!\left( \frac{32}{3.7417\cdot 8.7750} \right) \approx 12.93^\circ$$常见问题
可以计算二维向量吗？ 可以——把两个向量的 Z 分量都设为 0，所有公式依然成立。
叉积能告诉我什么？ 它给出一个同时垂直于两个输入向量的向量，其模长正好等于这两个向量所张成的平行四边形的面积。
如果某个向量是零向量怎么办？ 这时模长为 0，夹角无法定义，因此本工具会在这种情况下把夹角显示为 0。
