单位向量计算器

输入计算

单位向量 û

( 0.6, 0.8, 0 )

方向相同、长度为 1 的向量

单位向量是指模长（长度）恰好等于 1，且方向与原向量相同的向量。把一个向量转换成对应单位向量的过程，称为归一化（标准化）。在物理、计算机图形学、机器学习和工程等领域，只要你关心方向而不在意大小，单位向量就显得格外重要。

输入向量的 x、y 分量；如果处理的是三维向量，再填入 z 分量（二维向量可将 z 留空或填 0）。计算器会先算出模长，再用每个分量除以模长，从而得到单位向量。

首先用勾股定理（推广到多维）求出模长：

$$\lVert \vec{v} \rVert = \sqrt{v_x^{2} + v_y^{2} + v_z^{2}}$$

然后把每个分量都除以模长：

$$\hat{u} = \left(\frac{v_x}{\lVert \vec{v} \rVert},\ \frac{v_y}{\lVert \vec{v} \rVert},\ \frac{v_z}{\lVert \vec{v} \rVert}\right)$$

所得向量的长度恒为 1。需要注意的是，零向量无法归一化，因为它的模长为 0。

以向量 $v = (3,\ 4,\ 0)$ 为例。其模长为

$$\sqrt{3^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

将每个分量除以 5，得到单位向量

$$\hat{u} = \left(\frac{3}{5},\ \frac{4}{5},\ 0\right) = (0.6,\ 0.8,\ 0)$$

你可以验证一下：

$$\sqrt{0.6^{2} + 0.8^{2}} = \sqrt{0.36 + 0.64} = \sqrt{1} = 1 \checkmark$$

单位向量的长度可以不是 1 吗？不可以。根据定义，单位向量的模长永远恰好为 1（误差仅来自四舍五入）。

如果我的向量是 (0,0,0) 怎么办？零向量没有方向，模长为 0，因此无法归一化；遇到这种情况，本工具会返回全为 0 的结果。

它支持二维向量吗？支持。只需将 z 分量保持为 0，计算器就会按二维向量来处理。

最后更新: 2026年6月18日