単位ベクトルとは？
単位ベクトルとは、大きさ（長さ）がちょうど1で、元のベクトルと同じ向きを持つベクトルのことです。あるベクトルを単位ベクトルに変換する操作を正規化（normalization）と呼びます。単位ベクトルは、物理学・コンピューターグラフィックス・機械学習・工学など、「大きさは問わず向きだけを扱いたい」あらゆる場面で欠かせない存在です。
このツールの使い方
ベクトルのx成分とy成分を入力します。3次元で計算する場合はz成分も入力してください（2次元ベクトルならzは空欄または0のままで構いません）。ツールがベクトルの大きさを求め、各成分をその大きさで割って単位ベクトルを算出します。
計算式の解説
まず、多次元に拡張した三平方の定理（ピタゴラスの定理）でベクトルの大きさを求めます： \(|v| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\)。次に、各成分をこの大きさで割ります： \(\hat{u} = \left(\frac{v_x}{|v|},\ \frac{v_y}{|v|},\ \frac{v_z}{|v|}\right)\)。こうして得られるベクトルの長さは常に1になります。なお、ゼロベクトルは大きさが0のため正規化できません。
$$\hat{u} = \frac{\vec{V}}{\lVert \vec{V} \rVert} = \frac{\left(\text{V}_x,\ \text{V}_y,\ \text{V}_z\right)}{\sqrt{\text{V}_x^{2} + \text{V}_y^{2} + \text{V}_z^{2}}}$$
計算例
ベクトル \(v = (3,\ 4,\ 0)\) を例に考えます。大きさは $$\sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ です。各成分を5で割ると、単位ベクトルは $$\hat{u} = \left(\frac{3}{5},\ \frac{4}{5},\ 0\right) = (0.6,\ 0.8,\ 0)$$ となります。検算してみましょう： $$\sqrt{0.6^2 + 0.8^2} = \sqrt{0.36 + 0.64} = \sqrt{1} = 1$$ ✓ きちんと長さ1になっていますね。
よくある質問（FAQ）
単位ベクトルの長さが1以外になることはありますか？ いいえ。定義上、単位ベクトルの大きさは常にちょうど1です（丸め誤差の範囲を除く）。
ベクトルが (0,0,0) のときはどうなりますか？ ゼロベクトルには向きがなく、大きさも0なので正規化できません。この場合、ツールはすべて0を返します。
2次元ベクトルでも使えますか？ はい。zの欄を0のままにすれば、2次元ベクトルとして計算されます。
