ما هو متجه الوحدة؟
متجه الوحدة هو متجه مقداره (طوله) يساوي 1 بالضبط، ويشير في الاتجاه نفسه الذي يشير إليه المتجه الأصلي. وتُسمّى عملية تحويل المتجه إلى متجه وحدة بـالتطبيع (Normalization). تؤدي متجهات الوحدة دورًا أساسيًا في الفيزياء ورسوميات الحاسوب وتعلّم الآلة والهندسة، في كل موضع يهمّك فيه الاتجاه دون المقدار.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل المركبتين x وy لمتجهك، والمركبة z إذا كنت تعمل في ثلاثة أبعاد (اترك خانة z فارغة أو ضع 0 للمتجه ثنائي الأبعاد). تحسب الأداة المقدار ثم تقسم كل مركبة عليه لتنتج متجه الوحدة.
شرح المعادلة
أولًا نحسب المقدار باستخدام نظرية فيثاغورس مُعمَّمة على عدة أبعاد: \(\lVert v \rVert = \sqrt{v_x^{2} + v_y^{2} + v_z^{2}}\). ثم نقسم كل مركبة على هذا المقدار: \(\hat{u} = \left(\frac{v_x}{\lVert v \rVert},\ \frac{v_y}{\lVert v \rVert},\ \frac{v_z}{\lVert v \rVert}\right)\). ويكون طول المتجه الناتج دائمًا 1. ولا يمكن تطبيع المتجه الصفري لأن مقداره يساوي 0.
$$\hat{u} = \frac{\vec{V}}{\lVert \vec{V} \rVert} = \frac{\left(\text{V}_x,\ \text{V}_y,\ \text{V}_z\right)}{\sqrt{\text{V}_x^{2} + \text{V}_y^{2} + \text{V}_z^{2}}}$$
مثال محلول
لنأخذ المتجه \(v = (3,\ 4,\ 0)\). المقدار هو
$$\sqrt{3^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$وبقسمة كل مركبة على 5 نحصل على متجه الوحدة
$$\hat{u} = \left(\frac{3}{5},\ \frac{4}{5},\ 0\right) = (0.6,\ 0.8,\ 0)$$ويمكنك التحقق من ذلك:
$$\sqrt{0.6^{2} + 0.8^{2}} = \sqrt{0.36 + 0.64} = \sqrt{1} = 1 \checkmark$$الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن يكون طول متجه الوحدة مختلفًا عن 1؟ لا — فبحكم التعريف يكون مقدار متجه الوحدة دائمًا 1 بالضبط (مع مراعاة التقريب).
ماذا لو كان متجهي هو (0، 0، 0)؟ المتجه الصفري ليس له اتجاه ومقداره يساوي 0، لذا لا يمكن تطبيعه؛ وتُرجِع هذه الأداة أصفارًا في هذه الحالة.
هل تعمل الحاسبة مع المتجهات ثنائية الأبعاد؟ نعم. ما عليك سوى ترك خانة z على القيمة 0، فتتعامل معها الحاسبة كمتجه ثنائي الأبعاد.
