Tích của ma trận và vector là gì?
Tích của ma trận và vector lấy một ma trận A kích thước m×n nhân với vector cột x có n chiều, cho ra một vector cột mới c = A·x có m chiều. Đây là một trong những phép toán nền tảng nhất của đại số tuyến tính, làm cơ sở cho các phép biến đổi tuyến tính, hệ phương trình, đồ họa máy tính và học máy (machine learning). Công cụ này làm việc với số thực và áp dụng được ở mọi nơi — đây là toán học thuần túy, không phụ thuộc vào quy định riêng của bất kỳ quốc gia nào.
Cách sử dụng máy tính
Nhập số hàng (i) và số cột (j) của ma trận A. Gõ các phần tử của ma trận vào ô lưới, mỗi dòng tương ứng một hàng của ma trận, các giá trị cách nhau bằng dấu cách hoặc dấu phẩy. Nhập vector x với mỗi giá trị là một phần tử; độ dài của x phải bằng số cột của A. Các ô để trống được xem là 0. Nhấn nút tính toán để xem vector cột kết quả.
Giải thích công thức
Với mỗi chỉ số đầu ra \(i\) chạy từ 1 đến \(m\) (số hàng), thành phần kết quả là tổng có trọng số giữa các phần tử ở hàng \(i\) của ma trận và các thành phần của vector:
$$c_i = a_{i1}\cdot x_1 + a_{i2}\cdot x_2 + \dots + a_{in}\cdot x_n$$
Đây chính là tích vô hướng giữa hàng thứ \(i\) của A và vector x. Phép nhân chỉ xác định được khi số cột của A bằng độ dài của x (cột = \(n\)). Khi đó vector kết quả có độ dài \(m\), tức là số hàng của A.
Ví dụ minh họa
Cho A là ma trận 3×3 với các hàng [1 2 3], [4 5 6], [7 8 9] và x = (1, 0, -1). Khi đó $$c_1 = 1\cdot 1 + 2\cdot 0 + 3\cdot(-1) = -2,$$ $$c_2 = 4\cdot 1 + 5\cdot 0 + 6\cdot(-1) = -2,$$ $$c_3 = 7\cdot 1 + 8\cdot 0 + 9\cdot(-1) = -2.$$ Kết quả là vector cột c = (-2, -2, -2).
Câu hỏi thường gặp
Nếu kích thước không khớp thì sao? Nếu số cột của A không bằng độ dài của vector x, phép nhân không xác định được và máy tính sẽ hiển thị thông báo kiểm tra thay vì kết quả.
A có thể không vuông không? Có. Một ma trận 2×3 nhân với vector 3 chiều cho ra vector 2 chiều. Độ dài kết quả luôn bằng số hàng của A.
Ma trận 1×n cho kết quả gì? Ma trận 1×n nhân với vector n chiều cho ra một thành phần duy nhất — thực chất là tích vô hướng (tích trong) của hai vector, ở đây được biểu diễn dưới dạng vector có độ dài 1.
