मैट्रिक्स-वेक्टर गुणनफल क्या होता है?
मैट्रिक्स-वेक्टर गुणनफल में एक m×n मैट्रिक्स A और एक n-विमीय कॉलम वेक्टर x को लिया जाता है, और इनसे एक नया m-विमीय कॉलम वेक्टर c = A·x बनता है। यह रैखिक बीजगणित (linear algebra) की सबसे बुनियादी क्रियाओं में से एक है, जो रैखिक रूपांतरण, समीकरण निकाय, कंप्यूटर ग्राफ़िक्स और मशीन लर्निंग जैसी चीज़ों की नींव बनाती है। यह कैलकुलेटर वास्तविक संख्याओं (real numbers) पर काम करता है और हर जगह लागू होता है — यह शुद्ध गणित है, इसमें किसी देश या क्षेत्र विशेष का नियम लागू नहीं होता।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
मैट्रिक्स A की पंक्तियों (i) और कॉलम (j) की संख्या दर्ज करें। ग्रिड बॉक्स में मैट्रिक्स के मान भरें — हर पंक्ति को एक अलग लाइन में लिखें और मानों को स्पेस या कॉमा से अलग करें। वेक्टर x डालते समय हर मान एक टोकन में रखें; इसकी लंबाई A के कॉलम की संख्या के बराबर होनी चाहिए। खाली खानों को 0 माना जाता है। "गणना करें" दबाते ही परिणामी कॉलम वेक्टर दिख जाएगा।
सूत्र की व्याख्या
प्रत्येक आउटपुट इंडेक्स i के लिए (1 से m तक, यानी पंक्तियों की संख्या), परिणाम का घटक पंक्ति i के मैट्रिक्स मानों और वेक्टर घटकों का भारित योग होता है:
$$c_i = a_{i1}\cdot x_1 + a_{i2}\cdot x_2 + \dots + a_{in}\cdot x_n$$
दरअसल यह A की i-वीं पंक्ति और x का बिंदु गुणनफल (dot product) ही है। यह गुणा तभी परिभाषित होता है जब A के कॉलम की संख्या x की लंबाई के बराबर हो (cols = n)। तब आउटपुट वेक्टर की लंबाई m होती है, यानी A की पंक्तियों की संख्या।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लें A एक 3×3 मैट्रिक्स है जिसकी पंक्तियाँ [1 2 3], [4 5 6], [7 8 9] हैं और x = (1, 0, -1)। तब $$c_1 = 1\cdot 1 + 2\cdot 0 + 3\cdot(-1) = -2,$$ $$c_2 = 4\cdot 1 + 5\cdot 0 + 6\cdot(-1) = -2,$$ $$c_3 = 7\cdot 1 + 8\cdot 0 + 9\cdot(-1) = -2.$$ परिणाम कॉलम वेक्टर \(c = (-2, -2, -2)\) है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर विमाएँ मेल न खाएँ तो क्या होगा? यदि A के कॉलम की संख्या x की लंबाई के बराबर नहीं है, तो गुणनफल अपरिभाषित रहता है और कैलकुलेटर किसी संख्या के बजाय एक चेतावनी संदेश दिखाता है।
क्या A वर्गाकार (square) न होकर भी चल सकता है? हाँ। एक 2×3 मैट्रिक्स को 3-वेक्टर से गुणा करने पर 2-वेक्टर मिलता है। आउटपुट की लंबाई हमेशा A की पंक्तियों की संख्या के बराबर होती है।
1×n मैट्रिक्स से क्या मिलता है? एक 1×n मैट्रिक्स को n-वेक्टर से गुणा करने पर एक ही घटक मिलता है — यानी असल में दो वेक्टरों का आंतरिक (dot) गुणनफल, जो यहाँ लंबाई-1 के वेक्टर के रूप में दिखाया जाता है।
