Qu'est-ce que le produit matrice-vecteur ?
Le produit matrice-vecteur consiste à multiplier une matrice A de dimensions m×n par un vecteur colonne x de dimension n, ce qui donne un nouveau vecteur colonne \(c = A\cdot x\) de dimension m. C'est l'une des opérations les plus fondamentales de l'algèbre linéaire : elle se trouve au cœur des transformations linéaires, des systèmes d'équations, de l'infographie et de l'apprentissage automatique. Ce calculateur traite les nombres réels et s'applique partout — il s'agit de mathématiques pures, sans aucune règle propre à un pays ou à une région.
Comment utiliser ce calculateur
Indiquez le nombre de lignes (i) et de colonnes (j) de la matrice A. Saisissez ensuite les coefficients dans la grille, une ligne de la matrice par ligne de texte, les valeurs étant séparées par des espaces ou des virgules. Renseignez le vecteur x avec une valeur par champ ; sa longueur doit être égale au nombre de colonnes de A. Les cases vides sont considérées comme des 0. Cliquez sur Calculer pour afficher le vecteur colonne obtenu.
La formule expliquée
Pour chaque indice de sortie i compris entre 1 et m (le nombre de lignes), la composante du résultat correspond à la somme pondérée des coefficients de la ligne i par les composantes du vecteur :
$$c_i = a_{i1}\cdot x_1 + a_{i2}\cdot x_2 + \cdots + a_{in}\cdot x_n$$
Il s'agit tout simplement du produit scalaire de la i-ème ligne de A par x. La multiplication n'est définie que lorsque le nombre de colonnes de A correspond à la longueur de x (colonnes = n). Le vecteur résultat possède alors une longueur m, soit le nombre de lignes de A.
Exemple résolu
Prenons la matrice 3×3 A dont les lignes sont [1 2 3], [4 5 6], [7 8 9] et le vecteur x = (1, 0, -1). On a alors $$c_1 = 1\cdot 1 + 2\cdot 0 + 3\cdot(-1) = -2,$$ $$c_2 = 4\cdot 1 + 5\cdot 0 + 6\cdot(-1) = -2$$ et $$c_3 = 7\cdot 1 + 8\cdot 0 + 9\cdot(-1) = -2.$$ Le résultat est le vecteur colonne c = (-2, -2, -2).
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si les dimensions ne correspondent pas ? Si le nombre de colonnes de A est différent de la longueur de x, le produit n'est pas défini : le calculateur affiche alors un message de validation au lieu d'un résultat.
La matrice A peut-elle être non carrée ? Oui. Une matrice 2×3 multipliée par un vecteur de dimension 3 donne un vecteur de dimension 2. La longueur du résultat est toujours égale au nombre de lignes de A.
Qu'obtient-on avec une matrice 1×n ? Une matrice 1×n multipliée par un vecteur de dimension n produit une seule composante — c'est en réalité le produit scalaire de deux vecteurs, présenté ici sous la forme d'un vecteur de longueur 1.
