Qu'est-ce que le produit vectoriel ?
Le produit vectoriel de deux vecteurs tridimensionnels a et b donne un nouveau vecteur perpendiculaire (orthogonal) aux deux vecteurs de départ. Il est essentiel en physique et en ingénierie pour calculer le moment d'une force (couple), le moment cinétique, la force magnétique ou encore les normales aux surfaces en infographie 3D. Contrairement au produit scalaire, qui renvoie un simple nombre, le produit vectoriel renvoie un vecteur.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les trois composantes du vecteur a (a₁, a₂, a₃) et celles du vecteur b (b₁, b₂, b₃). Le calculateur affiche le vecteur résultant a × b sous forme de triplet ordonné, accompagné de sa norme. Les valeurs peuvent être positives, négatives ou décimales.
La formule expliquée
Le produit vectoriel se définit composante par composante de la façon suivante :
$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} \text{a}_2 \cdot \text{b}_3 - \text{a}_3 \cdot \text{b}_2 \\[0.4em] \text{a}_3 \cdot \text{b}_1 - \text{a}_1 \cdot \text{b}_3 \\[0.4em] \text{a}_1 \cdot \text{b}_2 - \text{a}_2 \cdot \text{b}_1 \end{pmatrix}$$Chaque composante correspond à un déterminant 2×2 formé à partir des coordonnées restantes. La norme est égale à la racine carrée de la somme des carrés des composantes, ce qui équivaut aussi à \(|a||b|\sin(\theta)\), soit l'aire du parallélogramme engendré par les deux vecteurs.
Exemple détaillé
Soit \(a = (1, 2, 3)\) et \(b = (4, 5, 6)\). On obtient alors :
$$c_x = 2\cdot 6 - 3\cdot 5 = 12 - 15 = -3$$$$c_y = 3\cdot 4 - 1\cdot 6 = 12 - 6 = 6$$$$c_z = 1\cdot 5 - 2\cdot 4 = 5 - 8 = -3$$D'où \(a \times b = (-3, 6, -3)\), de norme \(\sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} \approx 7{,}348\).
FAQ
Le produit vectoriel est-il commutatif ? Non. \(a \times b = -(b \times a)\) : inverser l'ordre des vecteurs inverse le sens du résultat.
Que se passe-t-il si les vecteurs sont parallèles ? Le produit vectoriel est le vecteur nul \((0, 0, 0)\), car \(\sin(\theta) = 0\).
Que représente la norme ? Elle correspond à l'aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs. Une norme nulle signifie que les vecteurs sont linéairement dépendants (parallèles ou anti-parallèles).
