¿Qué es el producto vectorial?
El producto vectorial (también llamado producto cruz) de dos vectores tridimensionales a y b genera un nuevo vector perpendicular (ortogonal) a ambos. Es una herramienta fundamental en física e ingeniería para calcular el par o momento de fuerza (torque), el momento angular, la fuerza magnética y las normales de superficie en gráficos 3D. A diferencia del producto escalar, que devuelve un único número, el producto vectorial devuelve un vector.
Cómo usar esta calculadora
Introduce las tres componentes del vector a (a₁, a₂, a₃) y del vector b (b₁, b₂, b₃). La calculadora devuelve el vector resultante a × b como una terna ordenada junto con su magnitud. Los valores pueden ser positivos, negativos o decimales.
La fórmula explicada
El producto vectorial se define componente a componente de la siguiente manera:
$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} \text{a}_2 \cdot \text{b}_3 - \text{a}_3 \cdot \text{b}_2 \\[0.4em] \text{a}_3 \cdot \text{b}_1 - \text{a}_1 \cdot \text{b}_3 \\[0.4em] \text{a}_1 \cdot \text{b}_2 - \text{a}_2 \cdot \text{b}_1 \end{pmatrix}$$
Cada componente es un determinante 2×2 formado por las coordenadas restantes. La magnitud es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes, que también equivale a \(|a||b|\sin(\theta)\), es decir, el área del paralelogramo que forman ambos vectores.
$$\left\lVert \vec{a} \times \vec{b} \right\rVert = \sqrt{c_x^{2} + c_y^{2} + c_z^{2}}$$
Ejemplo resuelto
Supongamos que a = (1, 2, 3) y b = (4, 5, 6). Entonces:
$$c_x = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3$$$$c_y = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 = 12 - 6 = 6$$$$c_z = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3$$Por tanto, a × b = (−3, 6, −3), con una magnitud de \(\sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} \approx 7{,}348\).
Preguntas frecuentes
¿Es conmutativo el producto vectorial? No. \(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\); al invertir el orden se invierte también la dirección del resultado.
¿Qué ocurre si los vectores son paralelos? El producto vectorial es el vector nulo (0, 0, 0), porque \(\sin(\theta) = 0\).
¿Qué representa la magnitud? Es igual al área del paralelogramo formado por los dos vectores; una magnitud nula significa que son linealmente dependientes (paralelos o antiparalelos).
