¿Qué es el producto vectorial?
El producto vectorial (también llamado producto cruz) de dos vectores tridimensionales A y B da como resultado un tercer vector perpendicular (ortogonal) a ambos. Se utiliza ampliamente en física, ingeniería y gráficos por computadora para calcular el momento de fuerza (par), el momento angular, los vectores normales a una superficie y los ejes de rotación. A diferencia del producto escalar, que devuelve un número, el producto vectorial devuelve un vector.
Cómo usar esta calculadora
Introduce las componentes x, y, z del vector A y del vector B. La calculadora te devuelve las tres componentes de A × B junto con el módulo del vector resultante. El vector resultante siempre apunta en la dirección que determina la regla de la mano derecha.
La fórmula explicada
Para \(A = (a_1, a_2, a_3)\) y \(B = (b_1, b_2, b_3)\):
$$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{pmatrix} \text{A}_y\,\text{B}_z - \text{A}_z\,\text{B}_y \\[0.4em] \text{A}_z\,\text{B}_x - \text{A}_x\,\text{B}_z \\[0.4em] \text{A}_x\,\text{B}_y - \text{A}_y\,\text{B}_x \end{pmatrix}$$ El módulo es $$\left\| \vec{A} \times \vec{B} \right\| = \sqrt{ C_x^{2} + C_y^{2} + C_z^{2} },$$ que también equivale a \(|A||B|\sen(\theta)\), es decir, el área del paralelogramo formado por A y B.
Ejemplo resuelto
Sean \(A = (1, 2, 3)\) y \(B = (4, 5, 6)\).
$$c_x = 2\cdot6 - 3\cdot5 = 12 - 15 = -3$$ $$c_y = 3\cdot4 - 1\cdot6 = 12 - 6 = 6$$ $$c_z = 1\cdot5 - 2\cdot4 = 5 - 8 = -3$$
Por tanto, \(A \times B = (-3, 6, -3)\) con un módulo de $$\sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} \approx 7{,}348.$$
Preguntas frecuentes
¿El producto vectorial es conmutativo? No. \(A \times B = -(B \times A)\); al invertir el orden se invierte también la dirección.
¿Qué ocurre si los vectores son paralelos? El producto vectorial es el vector nulo, porque \(\sen(0) = 0\).
¿Funciona en 2D? El producto vectorial se define para vectores 3D. Para vectores en 2D, asigna 0 a las componentes z; el resultado tendrá únicamente una componente z.
