ما هو الضرب الاتجاهي؟
ينتج عن الضرب الاتجاهي (الضرب المتجهي) لمتجهين ثلاثيي الأبعاد A وB متجه ثالث يكون عموديًا (متعامدًا) على كليهما. ويُستخدم على نطاق واسع في الفيزياء والهندسة ورسوميات الحاسوب لإيجاد عزم الدوران، والزخم الزاوي، والمتجهات العمودية على الأسطح، ومحاور الدوران. وعلى عكس الضرب القياسي الذي يعطي عددًا قياسيًا، فإن الضرب الاتجاهي يعطي متجهًا.
كيفية استخدام هذه الحاسبة
أدخل المركّبات x وy وz لكل من المتجه A والمتجه B. تُرجع لك الحاسبة المركّبات الثلاث للناتج \(\vec{A} \times \vec{B}\) إضافةً إلى مقدار المتجه الناتج. ويشير المتجه الناتج دائمًا في الاتجاه الذي تحدده قاعدة اليد اليمنى.
شرح الصيغة الرياضية
إذا كان \(A = (a_1, a_2, a_3)\) وB = \((b_1, b_2, b_3)\):
$$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{pmatrix} \text{A}_y\,\text{B}_z - \text{A}_z\,\text{B}_y \\[0.4em] \text{A}_z\,\text{B}_x - \text{A}_x\,\text{B}_z \\[0.4em] \text{A}_x\,\text{B}_y - \text{A}_y\,\text{B}_x \end{pmatrix}$$ أما المقدار فهو $$\left\| \vec{A} \times \vec{B} \right\| = \sqrt{ C_x^{2} + C_y^{2} + C_z^{2} }$$ وهو يساوي أيضًا \(|A||B|\sin(\theta)\)، أي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّه المتجهان A وB.
مثال محلول
لنفترض أن \(A = (1, 2, 3)\) وB = \((4, 5, 6)\).
$$C_x = 2\cdot 6 - 3\cdot 5 = 12 - 15 = -3$$ $$C_y = 3\cdot 4 - 1\cdot 6 = 12 - 6 = 6$$ $$C_z = 1\cdot 5 - 2\cdot 4 = 5 - 8 = -3$$
وبذلك يكون \(\vec{A} \times \vec{B} = (-3, 6, -3)\) بمقدار \(\sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} \approx 7.348\).
الأسئلة الشائعة
هل الضرب الاتجاهي إبدالي؟ لا. فإن \(\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{A})\)؛ أي أن تبديل ترتيب المتجهين يعكس اتجاه الناتج.
ماذا لو كان المتجهان متوازيين؟ يكون الضرب الاتجاهي مساويًا للمتجه الصفري، لأن \(\sin(0) = 0\).
هل ينطبق على البعدين؟ الضرب الاتجاهي مُعرَّف للمتجهات ثلاثية الأبعاد. أما مع المتجهات ثنائية الأبعاد، فاجعل المركّبة z مساوية للصفر؛ وعندها سيحتوي الناتج على المركّبة z فقط.
