ما هو الضرب القياسي؟
الضرب القياسي (ويُسمى أيضًا الجداء النقطي أو حاصل الضرب الداخلي) عملية تأخذ متجهين وتُنتج عددًا واحدًا فقط. فبالنسبة للمتجهين a = (a₁, a₂, a₃) وb = (b₁, b₂, b₃)، يساوي مجموع حواصل ضرب المركّبات المتناظرة: $$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$ والناتج كمية قياسية (عدد) وليس متجهًا. وهو من أهم العمليات الأساسية في الجبر الخطي والفيزياء ورسوميات الحاسوب وتعلّم الآلة.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل مركّبات المتجه a في الصف الأول، ومركّبات المتجه b في الصف الثاني. وإذا كنت تتعامل مع متجهات ثنائية الأبعاد، فاترك المركّبة الثالثة (a₃ وb₃) بقيمة 0 ببساطة. ثم اضغط على «احسب» لتحصل على الضرب القياسي، وطول (مقدار) كل متجه، والزاوية المحصورة بينهما مقدّرة بالدرجات.
شرح الصيغة الرياضية
تُضرب كل مركّبة من a في المركّبة المقابلة لها من b، ثم تُجمع الحواصل معًا. أما الزاوية \(\theta\) بين المتجهين فتُستنتج من العلاقة \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\lVert\mathbf{a}\rVert\,\lVert\mathbf{b}\rVert\cos\theta\)، حيث \(\lVert\mathbf{a}\rVert=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\). وبإعادة ترتيب المعادلة نحصل على $$\theta=\arccos\left(\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\lVert\mathbf{a}\rVert\,\lVert\mathbf{b}\rVert}\right)$$
مثال محلول
لنفترض أن \(\mathbf{a}=(1, 2, 3)\) و\(\mathbf{b}=(4, 5, 6)\). يكون الضرب القياسي = $$(1\times4) + (2\times5) + (3\times6) = 4 + 10 + 18 = \mathbf{32}$$ أما الأطوال فهي \(\lVert\mathbf{a}\rVert=\sqrt{14}\approx 3.742\) و\(\lVert\mathbf{b}\rVert=\sqrt{77}\approx 8.775\). ومن ثمّ تكون الزاوية \(\arccos(32 / (3.742 \times 8.775)) \approx 12.93°\).
الأسئلة الشائعة
ماذا يعني أن يكون الضرب القياسي صفرًا؟ يعني أن المتجهين متعامدان (متعامدان تمامًا) — أي أن الزاوية المحصورة بينهما تساوي 90°.
هل يمكن أن يكون الضرب القياسي سالبًا؟ نعم. القيمة السالبة تدل على أن الزاوية بين المتجهين أكبر من 90° (أي أنهما يتجهان بصورة عامة في اتجاهين متعاكسين).
ما الفرق بينه وبين الضرب الاتجاهي (الجداء المتجهي)؟ الضرب القياسي يُنتج كمية قياسية (عددًا)، بينما يُنتج الضرب الاتجاهي متجهًا عموديًا على كلا المتجهين، وهو غير معرّف إلا في الفضاء ثلاثي الأبعاد.
