계산 입력

공식

Show calculation steps (1)

Angle Between Vectors

Angle from the dot product and magnitudes; result in degrees.

결과

내적 (a · b)

스칼라

벡터 a의 크기 (\|a\|)	3.7417
벡터 b의 크기 (\|b\|)	8.775
두 벡터 사이의 각도	12.93°

내적이란?

내적(스칼라곱이라고도 함)은 두 벡터를 입력받아 하나의 숫자를 돌려주는 연산입니다. 벡터 a = (a₁, a₂, a₃)와 b = (b₁, b₂, b₃)에 대해, 내적은 서로 대응하는 성분끼리 곱한 값을 모두 더한 것입니다: $$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$ 결과는 벡터가 아니라 스칼라(하나의 수)입니다. 내적은 선형대수학, 물리학, 컴퓨터 그래픽스, 머신러닝에서 가장 기본이 되는 연산 중 하나입니다.

공통 원점에서 출발하는 두 벡터와 그 사이의 각 세타 — 내적은 두 벡터를 그 사이의 각 $\theta$를 통해 연결합니다.

계산기 사용 방법

첫 번째 행에 벡터 a의 성분을, 두 번째 행에 벡터 b의 성분을 입력하세요. 2차원 벡터를 계산할 때는 세 번째 성분(a₃, b₃)을 0으로 그대로 두면 됩니다. 계산 버튼을 누르면 내적 값과 함께 각 벡터의 크기(길이), 그리고 두 벡터 사이의 각도(도 단위)를 확인할 수 있습니다.

공식 자세히 보기

a의 각 성분에 b의 대응하는 성분을 곱한 뒤, 그 곱들을 모두 더합니다. 두 벡터 사이의 각도 $\theta$는 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\lVert\mathbf{a}\rVert\,\lVert\mathbf{b}\rVert\cos\theta$ 라는 관계식에서 구할 수 있으며, 여기서 $\lVert\mathbf{a}\rVert=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$입니다. 이 식을 $\theta$에 대해 정리하면 $$\theta=\arccos\left(\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\lVert\mathbf{a}\rVert\,\lVert\mathbf{b}\rVert}\right)$$가 됩니다.

벡터 b를 벡터 a에 정사영한 기하학적 그림 — 기하학적으로 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$는 $\lVert\mathbf{a}\rVert$에 b를 a에 정사영한 값을 곱한 것과 같습니다.

예제로 풀어보기

$\mathbf{a}=(1, 2, 3)$, $\mathbf{b}=(4, 5, 6)$이라고 합시다. 내적은 $$(1\times 4) + (2\times 5) + (3\times 6) = 4 + 10 + 18 = 32$$입니다. 각 벡터의 크기는 $\lVert\mathbf{a}\rVert=\sqrt{14}\approx 3.742$, $\lVert\mathbf{b}\rVert=\sqrt{77}\approx 8.775$입니다. 두 벡터 사이의 각도는 $\arccos(32 / (3.742\times 8.775))\approx 12.93°$입니다.

자주 묻는 질문

내적이 0이면 무슨 의미인가요? 두 벡터가 서로 수직(직교)임을 뜻합니다. 즉, 두 벡터 사이의 각도가 90°라는 의미입니다.

내적이 음수가 될 수도 있나요? 네, 가능합니다. 내적이 음수라는 것은 두 벡터 사이의 각도가 90°보다 크다는 뜻으로, 두 벡터가 대체로 반대 방향을 향하고 있음을 의미합니다.

외적(cross product)과는 어떻게 다른가요? 내적은 스칼라(하나의 수)를 결과로 내놓지만, 외적은 두 입력 벡터 모두에 수직인 벡터를 결과로 내놓으며 3차원에서만 정의됩니다.

내적 계산기