이 계산기로 무엇을 할 수 있나요
이 도구는 두 벡터 a와 b에 대해 가장 기본적인 두 가지 연산, 즉 내적(스칼라곱)과 외적(벡터곱)을 계산합니다. 내적은 하나의 스칼라 값(숫자 하나)으로 나오고, 외적은 두 입력 벡터 모두에 수직인 새로운 3차원 벡터로 나옵니다. 또한 외적 벡터의 크기와 두 벡터 사이의 각도까지 함께 보여줍니다.
사용 방법
벡터 a와 벡터 b의 성분을 쉼표로 구분해 입력하세요(예: 1, 2, 3). 내적은 a와 b의 차원 \(n\)이 서로 같기만 하면 어떤 차원이든 계산할 수 있습니다. 반면 외적은 두 벡터 모두 반드시 성분이 정확히 3개여야 합니다. 드롭다운에서 표시할 유효숫자 자릿수를 선택할 수 있는데, 이는 화면에 보이는 결과 표시에만 영향을 줄 뿐 실제 내부 계산값은 바뀌지 않습니다.
공식 풀이
내적은 같은 위치의 성분끼리 곱한 뒤 모두 더합니다:
$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i\,b_i$$결과가 0이면 두 벡터는 직교(서로 수직)한다는 뜻입니다. 외적은 다음과 같은 벡터를 만들어 냅니다:
$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_2\,b_3 - a_3\,b_2 \\ a_3\,b_1 - a_1\,b_3 \\ a_1\,b_2 - a_2\,b_1 \end{pmatrix}$$각도는 다음 식으로 구하며, 이때 두 벡터 모두 영벡터가 아니어야 합니다:
$$\theta = \arccos\!\left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lVert \mathbf{a} \rVert \, \lVert \mathbf{b} \rVert} \right)$$
예제 풀이
a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 6)이라고 해 봅시다. 내적은 다음과 같습니다:
$$1 \times 4 + 2 \times 5 + 3 \times 6 = 4 + 10 + 18 = \mathbf{32}$$외적의 각 성분은 \(c_1 = 2 \times 6 - 3 \times 5 = -3\), \(c_2 = 3 \times 4 - 1 \times 6 = 6\), \(c_3 = 1 \times 5 - 2 \times 4 = -3\)이므로 \(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-3, 6, -3)\)이 됩니다. 이 벡터의 크기는 다음과 같습니다:
$$\sqrt{9+36+9} = \sqrt{54} \approx 7.3485$$자주 묻는 질문
외적이 '정의되지 않음'으로 나오는 이유는? 외적은 3차원 벡터에 대해서만 정의됩니다. a와 b 모두 성분이 정확히 3개인지 확인하세요.
내적이 '정의되지 않음'으로 나오는 이유는? 내적은 a와 b의 성분 개수가 같아야 합니다. 두 벡터의 차원이 다르면 연산이 정의되지 않습니다.
내적이 0이면 무슨 의미인가요? 두 벡터가 서로 직교한다는 뜻입니다(즉, 90도 각도를 이룹니다).
