Что считает этот калькулятор
Инструмент выполняет две базовые операции с векторами: находит скалярное произведение и векторное произведение двух векторов a и b. Скалярное произведение даёт одно число (скаляр), а векторное произведение — новый трёхмерный вектор, перпендикулярный обоим исходным. Дополнительно калькулятор показывает модуль векторного произведения и угол между двумя векторами.
Как пользоваться
Введите координаты вектора a и вектора b в виде чисел через запятую (например, 1, 2, 3). Для скалярного произведения векторы a и b могут иметь любую одинаковую размерность n. Для векторного произведения оба вектора должны содержать ровно три координаты. В выпадающем списке выберите количество значащих цифр для вывода — это влияет только на отображение результата, а не на сами вычисления.
Разбор формул
Скалярное произведение перемножает соответствующие координаты и складывает результаты:
$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n$$Если результат равен нулю, векторы ортогональны (перпендикулярны). Векторное произведение даёт вектор
$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_2\,b_3 - a_3\,b_2 \\ a_3\,b_1 - a_1\,b_3 \\ a_1\,b_2 - a_2\,b_1 \end{pmatrix}$$Угол находят по формуле
$$\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lVert \mathbf{a} \rVert \cdot \lVert \mathbf{b} \rVert}$$при этом оба вектора должны быть ненулевыми.
Разбор примера
Пусть \(\mathbf{a} = (1, 2, 3)\) и \(\mathbf{b} = (4, 5, 6)\). Скалярное произведение равно
$$1\times 4 + 2\times 5 + 3\times 6 = 4 + 10 + 18 = \mathbf{32}$$Координаты векторного произведения:
$$c_1 = 2\times 6 - 3\times 5 = -3, \quad c_2 = 3\times 4 - 1\times 6 = 6, \quad c_3 = 1\times 5 - 2\times 4 = -3$$то есть \(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-3, 6, -3)\). Его модуль равен
$$\sqrt{9+36+9} = \sqrt{54} \approx 7{,}3485$$Частые вопросы
Почему векторное произведение не определено? Векторное произведение существует только для трёхмерных векторов. Убедитесь, что у a и b ровно по три координаты.
Почему скалярное произведение не определено? Для скалярного произведения у векторов a и b должно быть одинаковое число координат. Если размерности отличаются, операция не определена.
Что означает нулевое скалярное произведение? Это значит, что векторы ортогональны (расположены под углом 90 градусов друг к другу).
