Калькулятор нормы вектора

Введите расчет

Компоненты вектора (по одной в строке) 3 -4 12 Вводите каждое вещественное число с новой строки. Допускаются отрицательные и дробные числа. Пустые строки пропускаются.

Результатов

Норма L2 (евклидова)

13

for 3 component(s)

Норма L1 (манхэттенская / сумма абсолютных значений)	19
Норма L2 (евклидова)	13
Норма L-бесконечность (максимальное абсолютное значение)	12

Что такое норма вектора?

Норма вектора показывает его «длину», или величину. Этот калькулятор вычисляет три самые распространённые нормы вещественного вектора: норму L1 (её также называют манхэттенской, или «нормой такси»), норму L2 (привычную евклидову длину) и норму L-бесконечность (наибольшую по модулю компоненту). Эти величины постоянно встречаются в машинном обучении, оптимизации, статистике, цифровой обработке сигналов и физике.

Вектор и его компоненты в двумерном пространстве.

Как пользоваться калькулятором

Введите каждую компоненту вектора с новой строки в поле ввода — например, вектор из трёх элементов 3, -4 и 12. Отрицательные и дробные числа поддерживаются полностью, а пустые строки просто пропускаются. Нажмите «Рассчитать» — и вы сразу получите все три нормы, а также количество распознанных компонент.

Разбор формул

Для вектора x с компонентами \(x_1, x_2, ..., x_n\):

• L1 = сумма \(|x_i|\) — складываем абсолютные значения.
• L2 = квадратный корень из суммы \(x_i^{2}\) — расстояние по прямой от начала координат.
• L-бесконечность = максимум \(|x_i|\) — самая большая по модулю компонента.

$$\|\vec{v}\|_1 = \sum_{i=1}^{n} |x_i| \qquad \|\vec{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}} \qquad \|\vec{v}\|_\infty = \max_i |x_i|$$

Полезная проверка: для любого вектора всегда выполняется неравенство \(\|\vec{v}\|_\infty \le \|\vec{v}\|_2 \le \|\vec{v}\|_1\).

Реклама

L1 (Манхэттен) идёт по сетке, L2 (евклидова) — это прямая линия, L-бесконечность — наибольшая отдельная компонента.

Разбор примера

Возьмём вектор [3, -4, 12]. Норма L1 равна $$|3| + |-4| + |12| = 3 + 4 + 12 = 19.$$ Норма L2 равна $$\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13.$$ Норма L-бесконечность равна $$\max(3, 4, 12) = 12.$$

Частые вопросы

Что будет при пустом вводе? Если ни одна компонента не введена, все три нормы равны 0.

Влияет ли знак компоненты на результат? Все три нормы используют абсолютные значения или квадраты, поэтому компонента и противоположное ей число дают одинаковый вклад.

Почему некоторые результаты получаются не целыми? В норме L2 берётся квадратный корень, поэтому, если сумма квадратов не является полным квадратом, результат иррационален и выводится округлённым примерно до десяти значащих цифр.