ベクトルのノルムとは
ベクトルのノルムとは、ベクトルの「長さ」や大きさを表す量です。本計算機では、実ベクトルに対して代表的な3つのノルムを求めます。すなわちL1ノルム(マンハッタンノルム、タクシー距離とも呼ばれます)、L2ノルム(おなじみのユークリッド距離)、そしてL∞ノルム(成分の絶対値の最大値)です。これらは機械学習、最適化、統計、信号処理、物理など、さまざまな分野で頻繁に登場します。
使い方
入力欄に、ベクトルの各成分を1行ずつ入力してください。たとえば成分が3つのベクトルなら、3、-4、12をそれぞれ別の行に入力します。負の数や小数もそのまま使え、空行は自動的に無視されます。計算ボタンを押すと、3種類のノルムがまとめて表示され、検出された成分の個数も確認できます。
計算式の解説
成分が \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) のベクトル \(x\) について:
- L1ノルム = \(|x_i|\) の総和 — 各成分の絶対値を足し合わせます。
- L2ノルム = \(x_i^{2}\) の総和の平方根 — 原点からの直線距離にあたります。
- L∞ノルム = \(|x_i|\) の最大値 — 絶対値が最も大きい成分の値です。
$$\|\vec{v}\|_1 = \sum_{i=1}^{n} |x_i| \qquad \|\vec{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}} \qquad \|\vec{v}\|_\infty = \max_i |x_i|$$
検算に便利な性質として、任意のベクトルで \(\|\vec{v}\|_\infty \le \|\vec{v}\|_2 \le \|\vec{v}\|_1\) という不等式が常に成り立ちます。
計算例
ベクトル [3, -4, 12] を例に考えます。L1ノルムは $$|3| + |-4| + |12| = 3 + 4 + 12 = 19$$ です。L2ノルムは $$\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$$ となります。L∞ノルムは \(\max(3, 4, 12) = 12\) です。
よくある質問
何も入力しないとどうなりますか? 成分が1つも入力されていない場合、3つのノルムはすべて0として表示されます。
成分の符号は結果に影響しますか? いずれのノルムも絶対値または2乗を用いるため、ある成分とその符号を反転させた値はまったく同じ寄与をします。
結果が整数にならないのはなぜですか? L2ノルムには平方根が含まれるため、2乗和が完全平方数でない限り結果は無理数になります。その場合は有効数字およそ10桁に丸めて表示されます。
