वेक्टर नॉर्म क्या होता है?
वेक्टर नॉर्म किसी वेक्टर की "लंबाई" या परिमाण (magnitude) को मापता है। यह कैलकुलेटर किसी वास्तविक वेक्टर के तीन सबसे आम नॉर्म निकालता है: L1 नॉर्म (जिसे मैनहैटन या टैक्सीकैब नॉर्म भी कहते हैं), L2 नॉर्म (वही परिचित यूक्लिडियन लंबाई), और L-इनफिनिटी नॉर्म (सबसे बड़ा निरपेक्ष घटक)। ये मशीन लर्निंग, ऑप्टिमाइज़ेशन, सांख्यिकी, सिग्नल प्रोसेसिंग और भौतिकी में हर जगह दिखाई देते हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
इनपुट बॉक्स में अपने वेक्टर के हर घटक को अलग-अलग लाइन पर लिखें, जैसे तीन प्रविष्टियों 3, -4 और 12 वाला एक वेक्टर। ऋणात्मक संख्याएँ और दशमलव पूरी तरह समर्थित हैं, और खाली लाइनों को नज़रअंदाज़ कर दिया जाता है। "कैलकुलेट" दबाते ही तीनों नॉर्म एक साथ मिल जाते हैं, साथ ही पहचाने गए घटकों की संख्या भी।
सूत्रों की व्याख्या
किसी वेक्टर x के घटक \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) के लिए:
$$\|\vec{v}\|_1 = \sum_{i=1}^{n} |x_i| \qquad \|\vec{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}} \qquad \|\vec{v}\|_\infty = \max_i |x_i|$$- L1 = \(|x_i|\) का योग — सभी निरपेक्ष मानों को जोड़ें।
- L2 = \(x_i^{2}\) के योग का वर्गमूल — मूल बिंदु (origin) से सीधी-रेखा दूरी।
- L-इनफिनिटी = \(|x_i|\) का अधिकतम मान — सबसे बड़ा अकेला परिमाण।
एक उपयोगी जाँच: किसी भी वेक्टर के लिए असमानताएँ \(\|\vec{v}\|_\infty \le \|\vec{v}\|_2 \le \|\vec{v}\|_1\) हमेशा सही रहती हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
वेक्टर [3, -4, 12] लीजिए। L1 नॉर्म है $$|3| + |-4| + |12| = 3 + 4 + 12 = 19$$ L2 नॉर्म है $$\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$$ और L-इनफिनिटी नॉर्म है $$\max(3, 4, 12) = 12$$
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर इनपुट खाली हो तो क्या होता है? अगर कोई घटक नहीं डाला गया, तो तीनों नॉर्म 0 के रूप में दिखाए जाते हैं।
क्या किसी घटक का चिह्न (sign) मायने रखता है? तीनों नॉर्म निरपेक्ष मान या वर्ग का उपयोग करते हैं, इसलिए कोई घटक और उसका ऋणात्मक रूप एक समान योगदान देते हैं।
कुछ परिणाम पूर्ण संख्याएँ क्यों नहीं होते? L2 नॉर्म में वर्गमूल शामिल होता है, इसलिए जब तक वर्गों का योग पूर्ण वर्ग न हो, परिणाम अपरिमेय (irrational) होता है और इसे लगभग दस सार्थक अंकों तक गोल करके दिखाया जाता है।
