벡터 노름이란?
벡터 노름(norm)은 벡터의 "길이" 또는 크기를 나타내는 값입니다. 이 계산기는 실수 벡터에서 가장 많이 쓰이는 세 가지 노름을 구합니다. 바로 L1 노름(맨해튼 또는 택시캡 노름이라고도 합니다), L2 노름(우리가 흔히 아는 유클리드 길이), 그리고 L-무한대 노름(절댓값이 가장 큰 성분)입니다. 이 노름들은 머신러닝, 최적화, 통계학, 신호 처리, 물리학 등 다양한 분야에서 끊임없이 등장합니다.
사용 방법
입력란에 벡터의 각 성분을 한 줄에 하나씩 적으면 됩니다. 예를 들어 성분이 3, -4, 12인 세 개짜리 벡터를 입력할 수 있습니다. 음수와 소수도 모두 지원하며, 빈 줄은 무시됩니다. 계산 버튼을 누르면 감지된 성분 개수와 함께 세 가지 노름이 한꺼번에 표시됩니다.
공식 설명
성분이 \(x_1, x_2, \ldots, x_n\)인 벡터 \(x\)에 대해:
$$\|\vec{v}\|_1 = \sum_{i=1}^{n} |x_i| \qquad \|\vec{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}} \qquad \|\vec{v}\|_\infty = \max_i |x_i|$$- L1 = \(|x_i|\)의 합 — 각 성분의 절댓값을 모두 더합니다.
- L2 = \(x_i^{2}\)의 합의 제곱근 — 원점에서의 직선 거리입니다.
- L-무한대 = \(|x_i|\)의 최댓값 — 절댓값이 가장 큰 성분 하나입니다.
검산에 유용한 팁: 어떤 벡터든 항상 \(\|\vec{v}\|_\infty \le \|\vec{v}\|_2 \le \|\vec{v}\|_1\) 이라는 부등식이 성립합니다.
예제로 풀어보기
벡터 \([3, -4, 12]\)를 생각해 봅시다. L1 노름은 $$|3| + |{-4}| + |12| = 3 + 4 + 12 = 19$$ 입니다. L2 노름은 $$\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$$ 입니다. L-무한대 노름은 \(\max(3, 4, 12) = 12\) 입니다.
자주 묻는 질문
입력이 비어 있으면 어떻게 되나요? 성분을 하나도 입력하지 않으면 세 가지 노름 모두 0으로 표시됩니다.
성분의 부호가 결과에 영향을 주나요? 세 노름 모두 절댓값이나 제곱을 사용하기 때문에, 어떤 성분과 그 음수는 동일한 크기로 기여합니다.
왜 어떤 결과는 정수가 아닌가요? L2 노름은 제곱근을 포함하므로, 제곱의 합이 완전제곱수가 아니면 결과가 무리수가 됩니다. 이 경우 약 10자리 유효숫자로 반올림하여 표시합니다.
