Chuẩn của vector là gì?
Chuẩn (norm) của vector đo "độ dài" hay độ lớn của một vector. Công cụ này tính ba loại chuẩn phổ biến nhất của một vector thực: chuẩn L1 (còn gọi là chuẩn Manhattan hay chuẩn taxi), chuẩn L2 (độ dài Euclid quen thuộc) và chuẩn L vô cùng (giá trị tuyệt đối lớn nhất trong các thành phần). Ba loại chuẩn này xuất hiện thường xuyên trong học máy, tối ưu hóa, thống kê, xử lý tín hiệu và vật lý.
Cách sử dụng
Hãy nhập mỗi thành phần của vector trên một dòng riêng trong ô nhập liệu, chẳng hạn một vector ba phần tử gồm 3, -4 và 12. Công cụ hỗ trợ đầy đủ số âm và số thập phân, đồng thời tự động bỏ qua các dòng trống. Nhấn nút tính toán là bạn nhận được cả ba chuẩn cùng lúc, kèm theo số thành phần đã được nhận diện.
Giải thích công thức
Với một vector x có các thành phần \(x_1, x_2, \ldots, x_n\):
$$\|\vec{v}\|_1 = \sum_{i=1}^{n} |x_i| \qquad \|\vec{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}} \qquad \|\vec{v}\|_\infty = \max_i |x_i|$$- L1 = tổng \(|x_i|\) — cộng tất cả các giá trị tuyệt đối lại.
- L2 = căn bậc hai của tổng \(x_i^{2}\) — khoảng cách đường thẳng tính từ gốc tọa độ.
- L vô cùng = max của \(|x_i|\) — thành phần có độ lớn lớn nhất.
Một mẹo kiểm tra nhanh: với mọi vector, bất đẳng thức \(\|\vec{v}\|_\infty \le \|\vec{v}\|_2 \le \|\vec{v}\|_1\) luôn đúng.
Ví dụ minh họa
Xét vector [3, -4, 12]. Chuẩn L1 là $$|3| + |-4| + |12| = 3 + 4 + 12 = 19.$$ Chuẩn L2 là $$\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13.$$ Chuẩn L vô cùng là \(\max(3, 4, 12) = 12\).
Câu hỏi thường gặp
Nếu để trống ô nhập thì sao? Nếu không nhập thành phần nào, cả ba chuẩn đều được trả về bằng 0.
Dấu của thành phần có ảnh hưởng không? Cả ba chuẩn đều dùng giá trị tuyệt đối hoặc bình phương, nên một thành phần và số đối của nó đóng góp hoàn toàn giống nhau.
Vì sao một số kết quả không phải số nguyên? Chuẩn L2 có chứa phép khai căn, nên trừ khi tổng các bình phương là số chính phương, kết quả sẽ là số vô tỉ và được hiển thị làm tròn đến khoảng mười chữ số có nghĩa.
