ما هو معيار المتجه؟
يقيس معيار المتجه "طوله" أو مقداره. تحسب هذه الأداة المعايير الثلاثة الأكثر شيوعًا لأي متجه حقيقي: معيار L1 (المعروف أيضًا باسم معيار مانهاتن أو معيار سيارة الأجرة)، ومعيار L2 (الطول الإقليدي المألوف)، ومعيار L-اللانهائي (أكبر مكوّن من حيث القيمة المطلقة). تظهر هذه المعايير باستمرار في تعلّم الآلة والأمثلة (التحسين) والإحصاء ومعالجة الإشارات والفيزياء.
طريقة الاستخدام
اكتب كل مكوّن من مكوّنات المتجه في سطر مستقل داخل خانة الإدخال، فمثلًا متجه يحوي ثلاث قيم هي 3 و-4 و12. الأعداد السالبة والكسور العشرية مدعومة بالكامل، ويتم تجاهل أي أسطر فارغة. اضغط على زر الحساب لتظهر لك المعايير الثلاثة دفعةً واحدة، إضافةً إلى عدد المكوّنات التي تم رصدها.
شرح المعادلات
لمتجه x مكوّن من القيم \(x_1\) و \(x_2\) و... و \(x_n\):
$$\|\vec{v}\|_1 = \sum_{i=1}^{n} |x_i| \qquad \|\vec{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}} \qquad \|\vec{v}\|_\infty = \max_i |x_i|$$- L1 = مجموع \(|x_i|\) — أي جمع القيم المطلقة.
- L2 = الجذر التربيعي لمجموع \(x_i^{2}\) — وهو المسافة المستقيمة من نقطة الأصل.
- L-اللانهائي = أكبر قيمة من \(|x_i|\) — أي أكبر مقدار مفرد.
وللتحقق السريع من صحة النتائج: تتحقق دائمًا المتباينة \(\|\vec{v}\|_\infty \le \|\vec{v}\|_2 \le \|\vec{v}\|_1\) لأي متجه.
مثال محلول
لنأخذ المتجه [3، -4، 12]. معيار L1 هو
$$|3| + |-4| + |12| = 3 + 4 + 12 = 19$$ومعيار L2 هو
$$\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$$أما معيار L-اللانهائي فهو أكبر القيم
$$\max(3, 4, 12) = 12$$الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث إذا كانت خانة الإدخال فارغة؟ إذا لم تُدخل أي مكوّنات، تظهر المعايير الثلاثة جميعها بقيمة 0.
هل تؤثر إشارة المكوّن في النتيجة؟ تعتمد المعايير الثلاثة كلها على القيم المطلقة أو المربعات، لذا يساهم أي مكوّن ونظيره السالب بالقدر نفسه تمامًا.
لماذا تأتي بعض النتائج بأرقام غير صحيحة؟ يتضمن معيار L2 جذرًا تربيعيًا، لذا ما لم يكن مجموع المربعات مربعًا كاملًا فإن النتيجة تكون عددًا غير نسبي، وتُعرض مقرّبة إلى نحو عشرة أرقام معنوية.
