حاسبة معيار فروبينيوس
معيار فروبينيوس هو أحد معايير المصفوفات الذي يقيس مقدار أو "حجم" المصفوفة، ويُحسب بأخذ الجذر التربيعي لمجموع مربعات القيم المطلقة لجميع عناصر المصفوفة. تساعدك هذه الحاسبة على إيجاد معيار فروبينيوس لأي مصفوفة بسرعة ودقة عالية.
ما هو معيار فروبينيوس؟
معيار فروبينيوس (ويُعرف أيضًا بالمعيار الإقليدي) هو معيار للمصفوفات يُعرَّف بأنه الجذر التربيعي لمجموع مربعات جميع عناصر المصفوفة. فبالنسبة لمصفوفة A تتكوّن من العناصر \(a_{ij}\)، يُرمز لمعيار فروبينيوس بالرمز \(\lVert A \rVert_F\).
$$\lVert A \rVert_F = \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}^{2}} \qquad A = \text{Matrix}$$يوفّر هذا المعيار مقياسًا لـ"حجم" المصفوفة، تمامًا كما يقيس المعيار الإقليدي مقدار المتجه. ويُستخدم على نطاق واسع في الجبر الخطي وتحليل المصفوفات والحسابات العددية.
متى تستخدم معيار فروبينيوس؟
يُعدّ معيار فروبينيوس مفيدًا بشكل خاص في عدد من التطبيقات، منها:
- تقريب المصفوفات: عند قياس مدى قرب مصفوفة من أخرى في تطبيقات مثل التقريب منخفض الرتبة والاستشعار المضغوط.
- التحليل العددي: لتقدير الخطأ أو الفرق بين المصفوفات في الطرق التكرارية والخوارزميات العددية.
- معالجة الإشارات: عند تحليل محتوى الطاقة في الإشارات الممثَّلة على هيئة مصفوفات.
أمثلة
المثال الأول: مصفوفة 2×2
احسب معيار فروبينيوس للمصفوفة A = [1, 2; 3, 4]
| المصفوفة | الحساب | النتيجة |
|---|---|---|
| [1, 2; 3, 4] |
\(\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 9 + 16} = \sqrt{30}\) | 5.4772 |
المثال الثاني: مصفوفة 3×3
احسب معيار فروبينيوس للمصفوفة B = [2, 0, 1; -1, 3, 5; 4, 2, 1]
| المصفوفة | الحساب | النتيجة |
|---|---|---|
| [2, 0, 1; -1, 3, 5; 4, 2, 1] |
\(\sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2 + (-1)^2 + 3^2 + 5^2 + 4^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 0 + 1 + 1 + 9 + 25 + 16 + 4 + 1} = \sqrt{61}\) | 7.8102 |
المثال الثالث: مصفوفة غير مربعة
احسب معيار فروبينيوس للمصفوفة 2×3 التالية: C = [5, 2, 1; 3, 4, 0]
| المصفوفة | الحساب | النتيجة |
|---|---|---|
| [5, 2, 1; 3, 4, 0] |
\(\sqrt{5^2 + 2^2 + 1^2 + 3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 4 + 1 + 9 + 16 + 0} = \sqrt{55}\) | 7.4162 |
