ما هو تحليل QR؟
تحليل QR (ويُعرف أيضًا باسم تفكيك QR) من الأساليب الجوهرية في الجبر الخطي، وهو يعبّر عن المصفوفة A على هيئة حاصل ضرب مصفوفتين: \(\mathbf{A} = \mathbf{Q}\,\mathbf{R}\). وهنا تكون Q مصفوفة متعامدة (أعمدتها متجهات وحدة متعامدة فيما بينها، أي أن \(\mathbf{Q}^{\mathsf{T}}\mathbf{Q} = \mathbf{I}\))، بينما تكون R مصفوفة مثلثية عليا. ويُستخدم هذا التفكيك في الحوسبة العددية حول العالم، وهو ينطبق على أي مصفوفة حقيقية بصرف النظر عن البلد أو الاصطلاح المتبع.
$$\mathbf{A} = \mathbf{Q}\,\mathbf{R}, \quad \mathbf{Q}^{\mathsf{T}}\mathbf{Q} = \mathbf{I},\ \ \mathbf{R}\ \text{upper triangular}$$
يُستعمل تحليل QR على نطاق واسع لحل الأنظمة الخطية، وحساب نماذج الانحدار بطريقة المربعات الصغرى، وإيجاد القيم الذاتية عبر خوارزمية QR. كما أنه أكثر استقرارًا من الناحية العددية مقارنةً بعكس المصفوفة مباشرةً، ولهذا السبب نجده حاضرًا في كثير من حزم البرمجيات العلمية والهندسية.
كيفية استخدام الحاسبة
إدخال المصفوفة أمر بسيط:
- افصل بين القيم داخل الصف الواحد باستخدام الفواصل.
- افصل بين كل صف وآخر باستخدام رمز الشرطة الرأسية ( | ).
- على سبيل المثال، المصفوفة ذات الصفّين (1، 2) و(3، 4) تُكتب على النحو التالي:
1,2|3,4.
بمجرد إرسال البيانات، تُرجع الحاسبة المصفوفة المتعامدة Q والمصفوفة المثلثية العليا R، بحيث يمكنك التحقق من أن ضربهما يُعيد إنتاج مصفوفتك الأصلية.
شرح الصيغة
أكثر الطرق شيوعًا هي طريقة غرام–شميت. فإذا كانت لدينا أعمدة المصفوفة A وهي \(a_1, a_2, \ldots\)، فإن الخوارزمية تبني مجموعة من المتجهات المتعامدة الموحَّدة كالتالي:
- نأخذ العمود الأول ونُوحِّده (نجعل طوله يساوي واحدًا) للحصول على \(q_1\).
- لكل عمود تالٍ، نطرح إسقاطاته على المتجهات q المحسوبة سابقًا، ثم نُوحِّد ما تبقّى.
- عناصر المصفوفة R هي الجداءات النقطية \(r_{ij} = q_i \cdot a_j\)، وتكون R مثلثية عليا لأن متجهات q السابقة لا تعتمد على الأعمدة اللاحقة.
مثال محلول
لنأخذ المصفوفة A = 1,1|0,1|1,0 (مصفوفة من الحجم 3×2). توحيد العمود الأول يعطينا \(q_1 = (0.707,\ 0,\ 0.707)\). وبطرح إسقاط هذا المتجه من العمود الثاني ثم توحيد الناتج نحصل على \(q_2\). والنتيجة هي مصفوفة متعامدة Q أعمدتها متجهات وحدة متعامدة، إلى جانب المصفوفة R التي تحمل معاملات الإسقاط. وبضرب \(\mathbf{Q} \times \mathbf{R}\) نستعيد المصفوفة الأصلية A، وهو ما يؤكد صحة التفكيك.
الأسئلة الشائعة
هل يجب أن تكون المصفوفة مربعة؟ لا. يصلح تحليل QR لأي مصفوفة من الحجم m×n حيث \(m \geq n\)، وهذا تحديدًا ما يجعله مفيدًا جدًا في مسائل المربعات الصغرى التي يكون فيها عدد المعادلات أكبر من عدد المجاهيل.
هل تحليل QR وحيد؟ نعم، لكن بدقّة تصل حتى إشارات العناصر القطرية في المصفوفة R. وعُرفًا، تُجعل العناصر القطرية لـ R موجبة لتثبيت إجابة واحدة محددة.
لماذا نستخدم تحليل QR بدلًا من عكس المصفوفة؟ لأن تحليل QR أكثر استقرارًا من الناحية العددية، ويتجنّب أخطاء التقريب الناتجة عن حساب معكوس المصفوفة مباشرةً، مما يجعل نتائجك أكثر موثوقية.
