¿Qué es la factorización QR?
La factorización QR (también llamada descomposición QR) es una técnica fundamental del álgebra lineal que expresa una matriz A como el producto de dos matrices: \(\mathbf{A} = \mathbf{Q}\,\mathbf{R}\). Aquí, Q es una matriz ortogonal (sus columnas son vectores unitarios perpendiculares entre sí, de modo que \(\mathbf{Q}^{\mathsf{T}}\mathbf{Q} = \mathbf{I}\)) y R es una matriz triangular superior. Esta descomposición se utiliza en todo el mundo en el cálculo numérico y se aplica a cualquier matriz real, sin importar el país ni la convención empleada.
La factorización QR se emplea ampliamente para resolver sistemas lineales, calcular ajustes de regresión por mínimos cuadrados y hallar valores propios mediante el algoritmo QR. Es más estable numéricamente que invertir directamente una matriz, razón por la cual aparece en numerosos paquetes de software científico y de ingeniería.
Cómo usar esta calculadora
Introducir tu matriz es muy sencillo:
- Separa los valores de una misma fila con comas.
- Separa cada fila con el símbolo de barra vertical ( | ).
- Por ejemplo, la matriz con las filas (1, 2) y (3, 4) se escribe como
1,2|3,4.
Una vez que envíes los datos, la calculadora devuelve la matriz ortogonal Q y la matriz triangular superior R, de modo que puedas comprobar que al multiplicarlas se reconstruye tu matriz original.
La fórmula explicada
El método más habitual es el proceso de Gram–Schmidt. La factorización completa puede escribirse como:
$$\mathbf{A} = \mathbf{Q}\,\mathbf{R}, \quad \mathbf{Q}^{\mathsf{T}}\mathbf{Q} = \mathbf{I},\ \ \mathbf{R}\ \text{upper triangular}$$Dadas las columnas a₁, a₂, … de A, el algoritmo construye un conjunto ortonormal de vectores:
- Toma la primera columna y normalízala para obtener q₁.
- Para cada columna posterior, resta sus proyecciones sobre los vectores q ya calculados y, a continuación, normaliza el resto.
- Los elementos de R son los productos escalares \(r_{ij} = \mathbf{q}_i \cdot \mathbf{a}_j\), y R resulta triangular superior porque los primeros vectores q no dependen de las columnas posteriores.
Ejemplo resuelto
Tomemos A = 1,1|0,1|1,0 (una matriz 3×2). Al normalizar la primera columna obtenemos \(\mathbf{q}_1 = (0{,}707,\ 0,\ 0{,}707)\). Si restamos su proyección de la segunda columna y normalizamos, conseguimos q₂. El resultado es una matriz ortogonal Q cuyas columnas son unitarias y perpendiculares entre sí, mientras que R contiene los coeficientes de proyección. Al multiplicar \(\mathbf{Q} \times \mathbf{R}\) se recupera la matriz original A, lo que confirma la descomposición.
Preguntas frecuentes
¿La matriz tiene que ser cuadrada? No. La factorización QR funciona con cualquier matriz m×n en la que m ≥ n, y precisamente por eso resulta tan útil en problemas de mínimos cuadrados con más ecuaciones que incógnitas.
¿La descomposición QR es única? Lo es salvo por los signos de los elementos de la diagonal de R. Por convención, la diagonal de R se hace positiva para fijar una única solución.
¿Por qué usar QR en lugar de invertir la matriz? QR es más estable numéricamente y evita los errores de redondeo que conlleva calcular inversas de matrices directamente, lo que hace que tus resultados sean más fiables.
