什么是QR分解？
QR分解（也称QR factorization 或 QR decomposition）是线性代数中的一种基础方法，它把一个矩阵 A 表示为两个矩阵的乘积：\(\mathbf{A} = \mathbf{Q}\,\mathbf{R}\)。其中 Q 是正交矩阵（它的各列是相互垂直的单位向量，因此满足 \(\mathbf{Q}^{\mathsf{T}}\mathbf{Q} = \mathbf{I}\)），R 是上三角矩阵。这一分解在数值计算领域被全球通用，适用于任意实数矩阵，与国家或地区惯例无关。
$$\mathbf{A} = \mathbf{Q}\,\mathbf{R}, \quad \mathbf{Q}^{\mathsf{T}}\mathbf{Q} = \mathbf{I},\ \ \mathbf{R}\ \text{upper triangular}$$
QR分解被广泛用于求解线性方程组、计算最小二乘回归拟合，以及通过QR算法求解特征值。相比直接对矩阵求逆，它在数值上更稳定，因此被众多科学与工程软件包所采用。
如何使用本计算器
输入矩阵非常简单：
- 同一行内的元素用逗号分隔。
- 不同的行之间用竖线（ | ）分隔。
- 例如，行为 (1, 2) 和 (3, 4) 的矩阵，写作
1,2|3,4。
提交之后，计算器会返回正交矩阵 Q 和上三角矩阵 R，你可以将两者相乘，验证其结果是否还原为原始矩阵。
公式详解
最常用的方法是格拉姆-施密特（Gram–Schmidt）正交化过程。已知 A 的各列 a₁、a₂、……，算法会构造出一组标准正交向量：
- 取第一列并将其归一化，得到 q₁。
- 对后续每一列，先减去它在已求出的各个 q 向量上的投影，再将剩余部分归一化。
- R 的各元素为点积 \(r_{ij} = \mathbf{q}_i \cdot \mathbf{a}_j\)；由于较早的 q 向量不依赖于后面的列，因此 R 是上三角矩阵。
实例演示
考虑 A = 1,1|0,1|1,0（一个 3×2 矩阵）。将第一列归一化得到 \(\mathbf{q}_1 = (0.707,\ 0,\ 0.707)\)。从第二列中减去它在 q₁ 上的投影并归一化，即可得到 q₂。最终得到的正交矩阵 Q，其各列均为单位长度且彼此垂直，而 R 中保存的则是各投影系数。将 \(\mathbf{Q} \times \mathbf{R}\) 相乘可还原为原始矩阵 A，从而验证分解的正确性。
常见问题
矩阵必须是方阵吗？ 不需要。QR分解适用于任意满足 \(m \geq n\) 的 m×n 矩阵——这正是它在“方程数多于未知数”的最小二乘问题中如此实用的原因。
QR分解是唯一的吗？ 在不考虑 R 对角元素符号的前提下，它是唯一的。按惯例会把 R 的对角元素取为正值，以确定唯一的答案。
为什么用QR分解而不直接对矩阵求逆？ QR分解在数值上更稳定，能够避免直接求矩阵逆所带来的舍入误差，让计算结果更加可靠。
