Qu'est-ce que la factorisation QR ?
La factorisation QR (aussi appelée décomposition QR) est une technique fondamentale de l'algèbre linéaire qui exprime une matrice A comme le produit de deux matrices : \(\mathbf{A} = \mathbf{Q}\,\mathbf{R}\). Ici, Q est une matrice orthogonale (ses colonnes sont des vecteurs unitaires perpendiculaires entre eux, d'où \(\mathbf{Q}^{\mathsf{T}}\mathbf{Q} = \mathbf{I}\)) et R est une matrice triangulaire supérieure. Cette décomposition est utilisée partout dans le calcul numérique et s'applique à n'importe quelle matrice réelle, quel que soit le pays ou la convention employée.
La factorisation QR sert couramment à résoudre des systèmes linéaires, à effectuer des régressions par moindres carrés et à déterminer les valeurs propres grâce à l'algorithme QR. Elle est numériquement plus stable que l'inversion directe d'une matrice, ce qui explique sa présence dans de nombreux logiciels scientifiques et d'ingénierie.
Comment utiliser ce calculateur
Saisir votre matrice est très simple :
- Séparez les valeurs d'une même ligne par des virgules.
- Séparez chaque ligne par une barre verticale ( | ).
- Par exemple, la matrice composée des lignes (1, 2) et (3, 4) s'écrit
1,2|3,4.
Une fois la matrice validée, le calculateur renvoie la matrice orthogonale Q et la matrice triangulaire supérieure R, ce qui vous permet de vérifier que leur produit reproduit bien votre matrice de départ.
La formule expliquée
La factorisation QR s'écrit de manière générale :
$$\mathbf{A} = \mathbf{Q}\,\mathbf{R}, \quad \mathbf{Q}^{\mathsf{T}}\mathbf{Q} = \mathbf{I},\ \ \mathbf{R}\ \text{upper triangular}$$La méthode la plus répandue est le procédé de Gram–Schmidt. À partir des colonnes \(a_1, a_2, \dots\) de A, l'algorithme construit un ensemble de vecteurs orthonormés :
- On prend la première colonne et on la normalise pour obtenir \(q_1\).
- Pour chaque colonne suivante, on soustrait ses projections sur les vecteurs q déjà calculés, puis on normalise le reste.
- Les coefficients de R sont les produits scalaires \(r_{ij} = q_i \cdot a_j\). R est triangulaire supérieure car les premiers vecteurs q ne dépendent pas des colonnes ultérieures.
Exemple détaillé
Prenons A = 1,1|0,1|1,0 (une matrice 3×2). En normalisant la première colonne, on obtient \(q_1 = (0{,}707\,;\, 0\,;\, 0{,}707)\). En retranchant sa projection de la deuxième colonne puis en normalisant, on trouve \(q_2\). Le résultat est une matrice Q orthogonale dont les colonnes sont de longueur unitaire et perpendiculaires, tandis que R contient les coefficients de projection. Le produit \(\mathbf{Q} \times \mathbf{R}\) redonne la matrice A initiale, ce qui confirme la décomposition.
Questions fréquentes
La matrice doit-elle être carrée ? Non. La factorisation QR fonctionne pour toute matrice m×n avec \(m \ge n\), ce qui la rend précisément si précieuse pour les problèmes de moindres carrés comportant plus d'équations que d'inconnues.
La décomposition QR est-elle unique ? Elle est unique au signe près des éléments diagonaux de R. Par convention, on rend la diagonale de R positive afin de fixer une réponse unique.
Pourquoi utiliser QR plutôt qu'inverser la matrice ? La factorisation QR est numériquement plus stable et évite les erreurs d'arrondi liées au calcul direct des inverses de matrices, ce qui rend vos résultats plus fiables.
